Aquí es un comentario del autor del libro que usted menciona. Pensé que podría ser relevante, sin embargo, demasiado largo para un comentario.
El argumento de que tenía en mente era la inducción en el número de células de X, pero no de forma explícita el uso de un cofiber secuencia. Supongamos que X se obtiene a partir de un subcomplejo X' adjuntando una n-celda. Dado un mapa f : X ---> Y, la inducción implica que f es homotópica a un mapa cuya restricción a X' es uno de un número finito de posibles mapas g_1, ... ,g_k : X' ---> Y. Esto es suficiente para mostrar que para cada g_i hay sólo un número finito de posibles extensiones de f : X ---> Y, hasta homotopy. Arreglar una extensión f_0, y sea f cualquier otra extensión. Las composiciones de f_0 y f con un mapa de características de la celda n dar mapas D^n ---> Y que está de acuerdo en S^{n-1}, por lo que le da una "diferencia" mapa d(f,f_0) : S^n ---> Y. vamos a utilizar el siguiente primaria de hecho:
Lema: Supongamos que tenemos dos punto de base-la preservación de los mapas de S^n a un espacio Z que están de acuerdo en un disco D^n que contiene el punto de base. Entonces, si los dos mapas de definir el mismo elemento de pi_n(Z), son homotópica por un homotopy que queda fijada en la D^n.
Por lo tanto, si pi_n(Y) es finito, hay sólo un número finito de opciones para f, hasta homotopy la fijación de X'.
Allen Hatcher
Él escribió este correo electrónico como respuesta a un amigo mío que se puso en contacto con él después de que había dudas en la resolución de este ejercicio.
