Reescribiendo $X\leftrightarrow Y$ utilizando sólo $\neg$ y $\lor$

Question

Nota: El libro que estoy utilizando no tiene soluciones/respuestas, así que voy a publicar algunas de las preguntas que no tengo claras con la esperanza de que alguien lo compruebe por mí.

Pregunta: Reescritura $X\leftrightarrow Y$ utilizando sólo $\neg$ y $\vee$ .

Mi intento: Tenemos $$X\leftrightarrow Y$$ $$\equiv (X\rightarrow Y)\wedge (Y\rightarrow X)$$ $$\equiv ((\neg X)\vee Y)\wedge ((\neg Y)\vee X)$$ donde la última equivalencia se desprende del hecho de que $(A\rightarrow B)\leftrightarrow ((\neg A)\vee B)$ .

Ahora bien, como $(X\wedge Y)\equiv \neg ((\neg X)\vee (\neg Y))$ la última línea anterior se convierte en $$\neg ((\neg ((\neg X)\vee Y))\vee (\neg ((\neg Y)\vee X)))$$ que es nuestra respuesta. $\Box$

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Creo que su respuesta es correcta. Por otra parte, la implicación bidireccional dice que o bien ambas son verdaderas o bien ambas son falsas: $$\begin{align} X\leftrightarrow Y&\equiv(X\wedge Y)\vee(\neg X\wedge\neg Y)\\ &\equiv\neg(\neg X\vee\neg Y)\vee\neg(X\vee Y) \end{align}$$