¿Cómo son los jacobianos de género $3$ curvas diferentes entre sí?

Question

Existen dos tipos de curvas proyectivas lisas (complejas) de género $3$ : cuarticos planos, y curvas hiperelípticas. El morfismo de Torelli $M_3\to A_3$ que asigna una curva a su jacobiano (principalmente polarizado), es biyectiva en los puntos. Así, $A_3$ consiste en jacobianos de género $3$ curvas. Debido a la "partición" de $M_3$ como {cuartos planos} $\amalg$ {hiperelípticos}, esperaría que esto se reflejara de alguna manera en $A_3$ . De ahí mis preguntas:

Pregunta 1 . ¿Cuáles son las principales diferencias entre los jacobianos de las cuárticas planas y de las curvas hiperelípticas?

(Soy intencionadamente vago aquí, ya que tengo curiosidad por cualquier tipo de diferencia).

También sería interesante saber si la teoría de la deformación de la curva dentro de su jacobiano es sensiblemente diferente según la propia curva; esto nos lleva a una segunda pregunta:

Pregunta 2 . (Deformaciones dentro del jacobiano) ¿Qué hacen los haces normales $\mathcal N_{C/Jac(C)}$ cuando $C$ es una curva plana cuártica o hiperelíptica, respectivamente?

Gracias por cualquier pista al respecto.

Answer 1

Dejemos que $L$ sea una polarización principal en el jacobiano del género $3$ curva. Entonces $L^2$ da una incrustación de la variedad Kummer $X$ de este jacobiano (es decir, cociente por la acción $x \mapsto -x$ ). Khaled demostró que esta incrustación es proyectivamente normal (es decir, el mapa de restricción

$Sym^n(H^0(X, L^2)) \to H^0(X, L^{2n})$

es suryente para todo $n$ ) si y sólo si $C$ no es hiperelíptica. Esto fue realmente útil en un artículo que escribí (y que también aprovecharé para anunciar): véase la Proposición 6.9 de http://arxiv.org/abs/1203.2575 y también la referencia del documento de Khaled.

Answer 2

Para la pregunta 2. A partir de la secuencia del haz conormal $$0\to\mathcal N^{\vee}\to \Omega_{Jac(C)}\to \omega_C\to 0$$ vemos que podemos identificar $\mathcal N^{\vee}$ con el paquete kernel/syzygy $M_{\omega_C}$ dada por la secuencia exacta $$0\to M_{\omega_C}\to H^0(C,\omega_C)\to\omega_C.$$ Este haz es semiestable de pendiente $-2$ y si $g\geq 3$ no es estable precisamente para las curvas hiperelípticas. Véase (3.4)Corolario en https://www.imsc.res.in/~kapil/papers/chap1/index.html

Para ver aparecer la inestabilidad para las curvas hiperelípticas, basta con observar las secciones de $M_{\omega_C}\otimes{\mathcal O}_C(H)$ , donde $H$ es el lápiz hiperelíptico que da la $2:1$ mapa a $\mathbb P^1$ , de tal manera que $h^0(C,H)=2$ . Retorciendo en la secuencia anterior y tomando secciones, tenemos $$0\to H^0(C,M_{\omega_C}\otimes{\cal O}_C(H))\to\mathbb C^{2g}\to\mathbb C^{g+1}.$$

Answer 3

Para la pregunta 2 una descripción rápida del haz normal $N_{C|J(C)}$ es (véase el lema 3.8 de [1]):

$$h^0(C,N_{C|J(C)})=h^1(C,N_{C|J(C)})= \begin{cases} 3 ~\text{for} ~C~\text{non-hyperelliptic}\\ 4 ~\text{for} ~C~\text{hyperelliptic}.\tag{1}\label{1} \end{cases}$$

Esto nos da alguna información de la teoría de la deformación del par $(J(C),C)$ . Dejemos que $\mathcal{D}$ sea el espacio de deformación de dichos pares, para $C\in M_3$ y $J(C)$ el jacobiano de $C$ entonces el espacio tangente de $\mathcal{D}$ en $(J(C),C)$ es la hipercohomología $\mathbb{H}^1(J(C),C)$ que se ajusta a la secuencia exacta

$$0\to H^0(J(C),T_{J(C)})\to H^0(C,N_{C|J(C)})\to \mathbb{H}^1(J(C),C)\xrightarrow{d} H^1(J(C),T_{J(C)})\to H^1(C,N_{C|J(C)})\to 0.$$

Utilizando $T_{J(C)}\cong \mathcal{O}^{\oplus 3}_{J(C)}$ , uno tiene $h^0(J(C),T_{J(C)})=3$ y $h^1(J(C),T_{J(C)})=9$ junto con $(\ref{1})$ , uno tiene $\dim \mathbb{H}^1(J(C),C)$ es siempre igual a $6$ Así que $\mathcal{D}$ es suave, no importa $C$ es hiperelíptica o no.

Sin embargo, la distinción proviene del rango de $d$ , que es la respuesta a su pregunta 2 :

Si $C$ no es hiperelíptica, $d$ es de rango máximo, por lo que cuando $J(C)$ se deforma en el lugar p.p.a.v. de 6 dimensiones, la curva $C$ se deforma con $J(C)$ Si $C$ es hiperelíptica, $d$ tiene un núcleo unidimensional, por lo que $C$ se obstruirá cuando $J(C)$ se deforma normal al lugar hiperelíptico de 5 dimensiones.

La prueba de $(\ref{1})$ es esencialmente un hecho clásico conocido como Teorema de Noether que establece que $$\text{Sym}^2H^0(C,K_C)\to H^0(C,2K_C)$$ es un isomorfismo cuando $C$ es una curva no hiperlíptica y tiene un núcleo unidimensional cuando $C$ es hiperléptico.

Pregunta 1 se responde esencialmente en el comentario de rfauffar, a saber $\tau(C)$ coincide con $C$ hasta una traslación en el toro si y sólo si $C$ es hiperelíptica, donde $\tau:J(C)\to J(C)$ es la involución dada por $(-1)$ -y identificamos $C$ con su imagen de Abel-Jacobi en $J(C)$ .

Me gustaría mencionar un teorema relacionado con este hecho. Obsérvese que $\tau$ siempre induce un mapa de identidad en $H_2(J(C),\mathbb Z)$ Así que $\tau(C)$ es homólogo a $C$ en $J(C)$ Sin embargo, en general no son equivalentes algebraicamente:

Teorema: (G. Ceresa [2], 1983) Cuando $C$ es general en $M_3$ , $C$ no es equivalente algebraicamente a $\tau(C)$ .

Basándose en este resultado, F. Bardelli y M. Nori demostraron

Teorema: (F. Bardelli [1], 1989, M. Nori [3], 1989) Dejemos que $A$ sea un triplete abeliano general, el grupo de Griffiths $\mathcal{G}_1(A)$ (el grupo de los 1-ciclos algebraicamente triviales módulo de equivalencia homológica) no está generado finitamente.

1] Bardelli, Fabio. Curvas de género tres en una tripleta abeliana general y la generación no finita del grupo de Griffiths. Arithmetic of complex manifolds (Erlangen, 1988), 10-26, Lecture Notes in Math., 1399, Springer, Berlín, 1989.

2] Ceresa, G. $C$ no es equivalente algebraicamente a $C^−$ en su jacobiano. Ann. of Math. (2) 117 (1983), nº 2, 285-291.

3] Nori, Madhav V. Cycles on the generic abelian threefold. Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 99 (1989), no. 3, 191-196.