Dado un $n$ grado de la ecuación en 2 variables ($n$ es un número natural) $$a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n=y^n$$
Si todos los valores de $a$ se dan los números racionales, ¿hay algún conocido mínimos o condiciones suficientes para $x$ $y$ que han:
soluciones y cuántos de ellos existen. Si no se sabe/posible (o muy difícil) para un $n$ grado del polinomio, existen condiciones para cuadrática ($n=2$) y cúbica ($n=3$) polinomios.
(El OP sugiere una conexión a este post.)
Debido a que esta pregunta es demasiado amplia, se extiende delgada y puede ser vaga. Sugiero que ser limitada, de modo que los coeficientes de $a_i$ son racionales, y $x,y$ son también racionales.
Habiendo dicho eso, dos buenos resultados se discuten en Kevin Brown sitio web.
I. º 2: La suma de $24$ consecutivos plazas.
$$F(x) = x^2+(x+1)^2+(x+2)^2+\dots+(x+23)^2=y^2\tag1$$
$$F(x) = 24x^2+552x+4324=y^2$$
que tiene solución,
$$x=p^2+70pq+144q^2,\quad\quad y =10(7p^2+30pq+42q^2)$$
donde $p,q$ resolver la ecuación de Pell $p^2-6q^2=1$. Este tiene un número infinito de entero de soluciones con el caso de $p,q = 1,0$ produciendo el famoso cañonazo de apilamiento problema,
$$1^2+2^2+3^2+\dots+24^2 =70^2$$
II. º 3: La suma de $n$ cubos consecutivos.
$$G(x) = x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+\dots+(x+n-1)^3=y^3\tag2$$
$$G(x) = n x^3 + \tfrac{1}{4}n(n - 1)\big(6x^2 + 4 n x - 2x + n(n - 1)\big) =y^3$$
una solución de la que (por Dave Rusin) es,
$$x=\tfrac{1}{6}(v^4 - 3v^3 - 2v^2 + 4),\quad\quad n=v^3$$
por tanto, para $2^3=8$ $4^3=64$ cubos,
$$(-2)^3+(-1)^3+\dots+3^3+4^3+5^3 = 6^3$$
$$6^3+7^3+8^3+9^3+10^3+\dots+69^3 = 180^3$$
y así sucesivamente.
III. Grados 4: La suma de 4 de poderes en una progresión aritmética.
No hay resultados análogos se conoce hasta el momento. Ver post vinculado en primera línea.
Esto se refiere a user45195 la pregunta y es demasiado largo para un comentario.
Cuando me dijo demasiado amplio, es debido a que la pregunta originalmente no limitar el campo de $x$. Un familiar es el campo de los números complejos $\mathbb{C}=a+bi$, de los cuales un caso especial son los reales $\mathbb{R}$, e incluso más limitado, los racionales $\mathbb{Q}$.
Si $x$$\mathbb{C}$, entonces es sólo una vieja resultado (Teorema Fundamental del Álgebra), que para cualquier $y$, uno siempre puede encontrar $n$ raíces $x$ que resolver la ecuación en tu post, y no hay nada nuevo que decir.
Sin embargo, si $x,y$ están limitados a los racionales $\mathbb{Q}$, que es donde se pone interesante. La ecuación,
$$f(x) = y^2\tag1$$
donde el grado $d$ $f(x)$ es $d = 2,3,4,5$ ha sido ampliamente estudiado. Ver curva algebraica, incluyendo Pell ecuaciones ($d=2$), de curva elíptica ($d=3,4$), y hyperelliptic de la curva ($d=5$). Para,
$$f(x) = y^3\tag2$$
a continuación, $d=3$ todavía tiene casos especiales como curvas elípticas. Para $d=4$, ver trigonal curva. Sin embargo, para la mayor,
$$f(x) = y^m\tag3$$
donde $d,m>3$, es más complicado. Ver superelliptic curva.
Usted puede determinar si una solución real de la ecuación existe; obviamente, siempre hay un si $n$ es extraño, puesto que el lado izquierdo, $y^n$ puede ser elegido, independiente de la derecha, a la igualdad de lo que queremos. Incluso para $n$, queremos saber si la mano izquierda polinomio es siempre positiva - esto sostiene claramente si $a_0$ es positivo, ya que la función tiende a $\infty$ $|x|$ se hace grande. Sin embargo, si $a_0$ es negativo, entonces la mano izquierda de la función no va a ser negativa en alguna parte si y sólo si tiene al menos una raíz real. Así, el problema sería entonces el colapso de determinar si un polinomio univariado tiene una raíz y, en general, es posible llevar a cabo de cómputo a través de Sturm secuencias.
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