Demostrar la congruencia $p^{q-1}+q^{p-1} \equiv 1 \pmod{pq}$

Question

Si $p$ y $q$ son primos distintos , demuestre que $$p^{q-1}+q^{p-1} \equiv 1 \pmod {pq}$$

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Utilizando el Teorema de Fermat podemos obtener $$p^{q-1} \equiv 1 \pmod q, \qquad q^{p-1} \equiv 1 \pmod p.$$

Después de eso no tengo ni idea. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

$p^{q-1}+q^{p-1}\equiv p^{q-1}\pmod q$

Ahora usando la Pequeño Teorema $p^{q-1}\equiv1\pmod q\implies p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1\pmod q$

Del mismo modo, $p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1\pmod p$

En $p$ y $q$ ambas divisiones $(p^{q-1}+q^{p-1}-1),$ lcm $(p,q)$ dividirá $(p^{q-1}+q^{p-1}-1)$

Ahora, lcm $(p,q)=p\cdot q$

Generalización:

Para dos enteros distintos $m,n>1$ donde $(m,n)=1,$

$(1):m^{\phi(n)}+n^{\phi(m)}\equiv1\pmod {m\cdot n}$ utilizando Euler' Totient teorema

$(2):m^{\lambda(n)}+n^{\lambda(m)}\equiv1\pmod {m\cdot n}$ utilizando Función Carmichael

Answer 2

A su

$$p^{q-1} \equiv 1 \pmod q\text, \qquad q^{p-1} \equiv 1 \pmod p\text,$$

añadir el hecho de que

$$p^{q-1} \equiv 0 \pmod p\text, \qquad q^{p-1} \equiv 0 \pmod q\text.$$

Entonces

$$p^{q-1} + q^{p-1} \equiv 1 \pmod q\text, \qquad p^{q-1} + q^{p-1} \equiv 1 \pmod p\text,$$

y por el Teorema del Resto Chino,

$$p^{q-1} + q^{p-1} \equiv 1 \pmod {pq}\text.$$