No integrabilidad del péndulo doble 2D

Question

Contexto:

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Para un sistema con $n$ grados de libertad (DOF), hay que lidiar con $2n$ coordenadas independientes ( $2n$ espacio de fase dimensional), de posición $q$ y $\dot{q}$ en Formulación lagrangiana o coordenadas independientes de $q$ y el momento generalizado $p$ en el Formulación hamiltoniana .

Recordamos al lector que si un sistema con $n$ El DOF presenta al menos $n$ definido globalmente integrales de movimiento (primeras integrales), donde todas esas variables conservadas están en involución (Poisson) entre sí, entonces el sistema es (Liouville) integrable .

Además, un sistema con $n$ DOF puede tener como máximo $2n-1$ integrales de movimiento definidas globalmente. Un sistema tendrá genéricamente $2n$ definido localmente constantes de movimiento . Sólo nos interesarán las integrales de movimiento que estén definidas globalmente.

Pasemos ahora al famoso caso de las 2D doble péndulo con cables rígidos ingrávidos que unen las dos masas y que tienen las longitudes $\ell_1$ y $\ell_2$ las coordenadas generalizadas vienen dadas aquí por los dos ángulos que cada masa forma con la vertical, denotados respectivamente por $\theta_1$ y $\theta_2.$

Es bastante sencillo demostrar entonces que bajo un campo gravitatorio constante, la Lagrangiana viene dada por:

$$L~=~T-V~=~\frac{1}{2}(m_1+m_2)\ell_1^2\dot{\theta_1}^2+\frac{1}{2}m_2 \ell_2^2 \dot{\theta_2}^2+m_2 \ell_1 \ell_2 \dot{\theta_1} \dot{\theta_2} \cos(\theta_1 - \theta_2)+(m_1+m_2)g\ell_1\cos\theta_1 + m_2g\ell_2\cos\theta_2.$$

A partir de aquí el cálculo de la Ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de 2º orden acoplada que sólo puede resolverse numéricamente para $\theta_1(t)$ y $\theta_2(t).$

Pregunta:

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Sabiendo que una integral del movimiento aquí es la energía total $E$ y esa componente de momento angular ortogonal $L_z$ al plano de movimiento es también una integral de movimiento independiente de $E$ . Desgraciadamente, no son conmutables de Poisson.

1. ¿Hay otras integrales de movimiento que se puedan encontrar aquí?

2. Sólo con mirar el Lagrangiano, como se ha dado anteriormente, ¿cómo podemos demostrar que el sistema no es integrable, al menos a nivel conceptual? (sólo queremos predecir, mediante un razonamiento, qué se conserva y qué cantidades son no primeras integrales aquí).

Answer 1

Para empezar, diría que la observación de la $L_z$ parece no significar prácticamente nada, ya que estás considerando el movimiento como restringido a la $\mathcal{X}\mathcal{Y}$ plano. Si hubieras asumido el movimiento a lo largo del $\mathcal{Z}$ para que sea posible, entonces estaríamos hablando del péndulo doble esférico en lugar del plano (que es el caso, ya que la lagrangiana tiene dos grados de libertad).

La energía se conservará porque el sistema es autónomo (independiente del tiempo). Obsérvese también que un sistema autónomo integrable con $n$ libertades ha $n$ cantidades conservadas, siendo una de ellas la energía. Por tanto, como nuestro sistema tiene dos grados de libertad, falta una constante de movimiento para que sea integrable. Diferenciando $L$ con respecto a $\dot{\theta}_1$ y $\dot{\theta}_2$ nos dará los momentos canónicos del sistema, pero fíjate que las derivadas de $L$ con respecto a $\theta_1$ y $\theta_2$ no son cero. Por lo tanto, los momentos canónicos no son cantidades conservadas. Además, la energía total del sistema no es una suma de energías individuales, ya que la lagrangiana tiene términos mixtos. No se puede extraer ninguna otra cantidad de la Lagrangiana que deba conservarse, ya que la mecánica habla de la conservación de los momentos y la energía (y a veces de sus proyecciones). Como no hay tantas cantidades conservadas como grados de libertad, el sistema es no integrable.

P.D.: En una dimensión podemos ver claramente que (usando ejemplos simples como el oscilador armónico o el péndulo simple) algunos sistemas no conservan sus momentos. Sin embargo, si son autónomos entonces son integrables, porque tienen un grado de libertad y una cantidad conservada: la energía.

EDITADO: Como la pregunta está directamente orientada a "¿es posible obtener, a partir del Lagrangiano, una respuesta sobre la integrabilidad?", entonces (como se sugiere en los comentarios) esbozaré algo sobre el teorema de Noether. El teorema relaciona los grupos de Lie con las cantidades invariantes, así que es una forma más de encontrar cantidades conservadas. Básicamente dice que si encuentras una transformación que deja invariante el Lagrangiano, entonces hay una cantidad conservada asociada a esa transformación. Por ejemplo, cuando la transformación se reduce a una traslación, la invariancia de la lagrangiana implica la conservación del momento; del mismo modo, si la transformación es una rotación, la invariancia implica la conservación del momento angular a lo largo del eje de rotación. Así que esto es básicamente una forma de utilizar las simetrías de la Lagrangiana para obtener leyes de conservación (conocer bien el contenido del teorema de Noether es muy importante para entender claramente muchos conceptos de la Mecánica Cuántica y la Teoría Cuántica de Campos). No estoy siendo cuantitativo porque demostrar que la lagrangiana del péndulo doble no es un invariante es tedioso, aunque debería ser de alguna manera obvio con sólo mirarlo.

Answer 2

Es difícil "ver" la integrabilidad o no integrabilidad de un Lagrangiano o Hamiltoniano. Un método para demostrar la no integrabilidad es el método de Melnikov, y para el péndulo físico en 2D se ha hecho en el artículo "Melnikov's method applied to the double pendulum" de Holger Dullin, Zeitschrift für Physik B, 93:521-528, 1994, https://doi.org/10.1007/BF01314257