Número de residuos cuadráticos mod $p$

Question

Vi en un comentario a esta pregunta que son exactamente $\frac{p-1}{2}$ cuadrática redidues $\mathbb{F}_p$, pero no puedo encontrar la prueba yo mismo (hace ya años pasados me ha tocado este tipo de problemas). ¿Puede alguien proporcionar algunos consejos, o (sería incluso mejor, supongo), algunas referencia, preferentemente disponibles en línea, con respecto a este tipo de álgebra?

Answer 1

Deje $p$ ser un extraño prime. Si $a$ no congruentes a $0$ modulo $p$, de la congruencia $x^2\equiv a\pmod {p}$ tiene dos soluciones o ninguna.

Esto significa que verse como una función de la no-cero elementos de $\mathbb{Z}_p$, el cuadrado de la función es$2$$1$, lo que significa que su rango tiene cardinalidad $(p-1)/2$.

Comentario: El hecho de que si hay una solución, hay exactamente $2$, es cierto en todos los campos de $F$ de características diferentes de $2$. Para suponer que en el campo de $F$, $a=b^2$ donde $a\ne 0$. Entonces la ecuación de $x^2=b^2$ puede ser reescrita como $(x-b)(x+b)=0$, por lo que sus soluciones sólo se $b$$-b$, los cuales son diferentes a menos $F$ tiene características de las $2$.

Answer 2

Deje $p>2$. El mapa de $f:\Bbb Z_p^\times\rightarrow\Bbb Z_p^\times$ $f(x)=x^2$ es un homomorphism, porque $f(xy)=(xy)^2=x^2y^2=f(x)f(y)$. Por el teorema de isomorfismo sabemos que $$ {\rm Im}(f)\simeq \Bbb Z_p^\/\ker(f). $$ Desde $\ker(f)$ es sólo el conjunto de raíces de $x^2-1$, es inmediato que $\ker(f)=\{\pm1\}$$|{\rm Im}(f)|=(p-1)/2$, lo que demuestra que no son exactamente $(p-1)/2$ cero clases que son cuadrados.

También, con el hecho de que $\Bbb Z_p^\times$ es cíclico, es fácil mostrar que $x\in\Bbb Z_p^\times$ es un cuadrado si y sólo si $$ x^{\frac{p-1}2}=1. $$ Esto se vincula a la anterior por el hecho de que $$ \left(\frac xp\right)=(-1)^{\frac{p-1}2}. $$

Answer 3

Deje $p>2$ ser una de las primeras y considerar el siguiente mapa: $$\psi : (\mathbb{F}_p)^\times \to (\mathbb{F}_p)^\times$$ que envía a $\psi(x)\equiv x^2 \bmod p$. Este es un homomorphism de grupos. En efecto: $$\psi(x\cdot y) \equiv (x\cdot y)^2 \equiv x^2\cdot y^2 \equiv \psi(x)\cdot \psi(y)\bmod p.$$ Por otra parte, el kernel tiene el fin de $2$, debido a $\psi(x)\equiv 1 \bmod p$ si y sólo si $x^2\equiv 1 \bmod p$ si y sólo si $x\equiv \pm 1\bmod p$. (Nota: un primer $p$ divide $x^2-1=(x-1)(x+1)$ si y sólo si $p$ divide $x+1$ o $x-1$.)

Por lo tanto, la imagen de $\psi$ es isomorfo a $\mathbb{F}_p^\times/\{\pm 1\}$, que tiene orden de $\frac{p-1}{2}$. Ya que la imagen de $\psi$ es exactamente el subgrupo de residuos cuadráticos módulo $p$, obtenemos el resultado deseado.

Answer 4

Que $g$ ser una raíz primitiva módulo $p$, es decir, $1,g,g^2,\ldots,g^{p-2}$ son los elementos no cero de $\mathbb F_p$. Mostrar que $g^n$ es un residuo cuadrático iff $n$, $1,g^2,\ldots,g^{p-3}$ son los residuos cuadráticos y su número es $(p-1)/2$.

Como alternativa, considere % $ $$\prod_{a\in\mathbb F_p^\times}(X-a) = X^{p-1}-1 = (X^\frac{p-1}{2}-1)(X^\frac{p-1}{2}+1).$por el criterio de Euler, $a\in \mathbb F_p^\times$ es un residuo cuadrático iff $a^\frac{p-1}{2} \equiv 1\pmod p$, es decir, iff $a$ es una raíz de $X^\frac{p-1}{2}-1$. La factorización arriba muestra que el número de esas raíces es exactamente $(p-1)/2$.