Contraejemplo para $(p\rightarrow q) \longleftrightarrow (!q \rightarrow\mathord !p) $

Question

¿Es la declaración $$(p\rightarrow q) \longleftrightarrow (!q \rightarrow \mathord!p) $ $ siempre verdadera? Si no es así, proporcione un contraejemplo.

Hasta ahora yo no puedo encontrar un contraejemplo ni probar que la declaración siempre es verdadera.

$!x$ es la negación de $x$.

Answer 1

Pensemos en cuando implicación tiene que ser cierto? O, de manera equivalente, cuando tiene que ser falso?

• $p\implies q$ es falso si y sólo si $p$ es verdadera y $q$ es falso.
• $\neg q \implies \neg p$ es falso si y sólo si $\neg q$ es verdadera y $\neg p$ es falso, es decir, cuando se $q$ es falso e $p$ es cierto.

Hemos demostrado que cuando una de las declaraciones no se sostiene, entonces el otro también tiene que ser falsa. Esto significa exactamente que estas declaraciones son equivalentes. No podemos encontrar ningún contraejemplo.

Answer 2

Parece que estoy tan tarde aquí para probar, pero puede utilizar este hecho que $$p\longrightarrow q\equiv( \sim p\vee q)$$ Now see that $% $ $p\longrightarrow q\equiv( \sim p\vee \color{blue}q)\equiv(\sim p\vee\color{blue}\sim\color{blue}(\color{blue}\sim\color{blue} q\color{blue}))\equiv(\sim(\sim q)\vee\sim p)\equiv\sim q\longrightarrow\sim p$

Answer 3

De hecho, usted está teniendo problemas para encontrar un contraejemplo porque no hay ningún contraejemplo!.

Para probar la que el bicondicional es verdadero, este es un buen tipo de problema donde la prueba de la verdad-tabla de comparación" viene muy bien, la comparación de la evaluación de cada posible valor de verdad de asignación de $p, q$ (es decir, la comparación de cada fila), se puede determinar si el bicondicional se evalúa a true:

Véase, por ejemplo, para cada fila de la siguiente tabla de verdad, comparar el correspondiente valor de verdad de$\;p\rightarrow q\;$$\;\lnot q \rightarrow \lnot p$. Si la evaluación de cada una de las conectivas de acuerdo (ambas verdaderas o ambas falsas), por cada fila, a continuación, el bicondicional se evalúa como true:

En efecto: Podemos ver que para cada una de las posibles $4$ valor de verdad de las asignaciones para cada fila de la tabla de verdad, $p \rightarrow q$ $\lnot q \rightarrow \lnot p\;$ evaluar con precisión el mismo valor de verdad. Eso es precisamente lo que se requiere para el bicondicional de mantener. Por lo tanto, $$(p\rightarrow q) \longleftrightarrow (\lnot q \rightarrow \lnot p)$$

En efecto, por la ley de la contrapositivo:

$$(p \rightarrow q) \equiv (\lnot q \rightarrow \lnot q)$$

Answer 4

Una nota a pie de página: Las otras respuestas dadas todas asumen que aquí la flecha es el material clásico condicional (es decir, tiene la verdad-de la tabla dada en @amWhy la respuesta, es decir, hace $p \to q$ equivalente a $\sim p \lor q$ @Babak la respuesta).

Es bien vale la pena comentar que el principio de que un condicional $p \to q$ es equivalente a $\sim q \to \sim p$ mantiene en algunos de los clásicos de la lógica, incluyendo algunos de la relevancia de la lógica.

Si usted se considera un par de deducción natural de las pruebas de $p \to q$ e de $\sim q \to \sim p$ usted verá que usted no tiene que apelar por ejemplo, a la "irrelevante" regla clásica de una contradicción inferir nada (o a todo lo que implica).