¿Cuándo se convierte la dimensión virtual cohomológico en un invariante numérico?

Question

En el grupo cohomology teoría, sabemos que la cohomological dimensión $cd(G)$ para un profinite grupo es fundamental numérico invariante. Podemos decir $G$ es de virtual cohomological dimensión $n$ (denota por $vcd(G)$), si existe un abierto subgrupo $H$ tal que $cd(H)=n$.

Parece que $vcd(G)$ no es siempre fijo entero y mi pregunta es:

¿Hay algún criterio al $vcd(G)$ convertido en fijo ,o decir, cuando $cd(G)=cd(H)$ para abrir todas las subgrupo $H$$G$ ? Si hay referencias relacionadas por favor hágamelo saber, thx !

Answer 1

Aunque no es evidente a partir de la definición, de hecho -- suponiendo que existe al menos un abrir subgrupo finito de cohomological dimensión, de lo contrario no hay nada que decir -- el virtual cohomological dimensión es siempre un fijo entero. En otras palabras, si existe un subgrupo $H_0$ $G$ tal que $\operatorname{cd}(H_0) < \infty$, a continuación, para abrir todos los subgrupos $H$$G$$\operatorname{cd}(H) < \infty$, tenemos

$\operatorname{cd}(H) = \operatorname{cd}(H_0)$.

(Por otra parte, esto también se aplica para el $p$-cohomological dimensión en cualquier prime $p$.)

Creo que este resultado se demostró por primera vez por Serre. En cualquier caso, de esto se deduce fácilmente a partir de la Proposición I. 14 en Serre de Galois Cohomology. De hecho, un poco más fuerte que el resultado es como la Proposición I. 14$'$: suponiendo que existe al menos un subgrupo abierto $H_0$ finito de cohomological dimensión, un subgrupo $H$ tiene una infinidad de cohomological dimensión si $H$ ha trivial elementos finitos de orden y cohomological dimensión igual a $\operatorname{cd}(H_0)$ lo contrario.