Tres nociones diferentes para la "grandeza" de un módulo (longitud, rango y "masa").

Question

Sea $M$ ser un $R-$ módulo donde $R$ es un dominio integral. Intento comprender las relaciones entre estas tres nociones de tamaño:

1. Sea $S \subset M$ ser un conjunto generador de cardinalidad mínima . Defina $|S| = mass(M)$
   (No conozco ningún término formal para esto, así que usaré este, lo siento).
2. Sea $T \subset M$ ser un conjunto linealmente independiente máximo (Un conjunto $T$ es linealmente independiente si el homomorfismo natural de $R^{\oplus T}$ a $M$ es inyectiva). Definir $|T| = {rk}_R(M)$ .
3. Por Jordan-Hölder para módulos, todo series de composición de un módulo tienen la misma longitud. Defina $length(M)$ como esa longitud.

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• Para espacios vectoriales (es decir, si $R$ es un campo) todas las nociones coinciden. (por favor, corrígeme si me equivoco).

• Supongamos que $M$ es gratis y de longitud finita. Sabemos que $M$ es libre si admite una base. Entonces $M \cong R^{\oplus B}$ donde $B \subset M$ es un subconjunto linealmente independiente. Al dividir la serie de composición encontramos que $M$ es isomorfo a una suma de módulos simples. Es decir: $$M \cong \bigoplus_{j \in J} N_j \cong R^{\oplus B}$$ ¿Podemos deducir ahora que $length(M)=mass(M)={rk}_R(M)$ ?

• Supongamos que $M$ es proyectivo y de longitud finita. Tenemos de nuevo, por división, que $M \cong \bigoplus_{j \in J} N_j $ . ¿Tenemos $length(M)=mass(M)$ ? ¿Qué pasa con ${rk}_R(M)$ ?

• Supongamos que $M$ es noetheriano . Claramente $mass(M)$ es finito. Debe $length(M)$ ser finito? ¿Y si añadimos que $M$ ¿es proyectivo (/libre)?

Me gustaría tener imagen organizada de cómo interactúan estas nociones entre sí en módulos diferentes. Se agradecerán (y recompensarán) las respuestas exhaustivas.)

Answer 1

La relación entre los tres números puede resumirse en dos inecuaciones: $$ rk_R(M)\leq mass(M) \leq length(M) . $$ No se puede decir mucho más, véase más abajo para hacerse una idea de por qué.

En primer lugar, demostremos las desigualdades. Supongamos que $mass(M)=m<\infty$ y que $\{x_1, \ldots, x_m\}$ sea un conjunto generador mínimo para $M$ . Entonces tenemos una secuencia estrictamente creciente de submódulos $$Rx_1 \subset Rx_1 + Rx_2 \subset \ldots \subset Rx_1+\ldots +Rx_n=R. $$ Esta secuencia puede refinarse en una serie de composición; por lo tanto $length(M)\geq mass(M)$ . (Tenga en cuenta que si $mass(M)=\infty$ entonces el mismo argumento demuestra que si $M$ tiene una serie de composición, entonces es de longitud infinita, por lo que seguimos teniendo igualdad).

A continuación, supongamos que $rk_R(M)=r$ y que $mass(M)=m$ . Entonces existe un morfismo inyectivo $R^{\oplus r}\to M$ y un morfismo suryectivo $R^{\oplus m}\to M$ . Desde $R$ es proyectiva, deducimos la existencia de un morfismo inyectivo $R^{\oplus r}\to R^{\oplus m}$ Esto implica que $r\leq m$ (ya que los anillos conmutativos tienen la propiedad del número de base invariante ). Con esto termina la demostración de las desigualdades.

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Algunos comentarios:

• La diferencia entre masa y rango puede ser arbitrariamente grande: sobre $\mathbb{Z}$ , $M=\mathbb{Z}^{\oplus a}\oplus (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\oplus b}$ tiene rango $a$ y masa $a+b$ .

• Lo mismo ocurre con la diferencia entre masa y longitud: si $p$ es primo, entonces $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ tiene masa $1$ y longitud $n$ en $\mathbb{Z}$ .

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Por último, en cuanto a los casos especiales mencionados en la pregunta original:

• Como se ha señalado en la pregunta original, si $R$ es un campo, entonces las tres nociones coinciden.

• Si $M$ es un $R$ -entonces $rk_R(M)=mass(M)$ y $length(M)=rk_R(M)\cdot length(R)$ .

• Si $M$ es proyectiva, no veo más lo que se puede decir.

• Si $M$ es noetheriano, entonces $length(M)$ sólo es finito si $M$ también es artiniano.