la respuesta debería ser$$|\operatorname {SL}_2(\mathbb Z/N\mathbb Z)|=N^{3}\prod_{p|N}(1-{1 /p^2})$ $ Pero primero cómo probar$$|\operatorname {SL}_2(\mathbb Z/p^e\mathbb Z)|=p^{3e}(1-{1 /p^2})$ $
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He aquí cómo se abordó esta cuando me fue dado como una tarea problema:
Hemos de probar que $\def\SL{\text{SL}}$ $\def\Z{\mathbb{Z}}$ $\def\GL{\text{GL}}$
$$|\SL_2(\Z/p^e\Z)|=p^{3e}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)$$
por inducción.
Para el caso base, $e=1$, tenga en cuenta que tenemos la secuencia exacta
$$1\to\SL_2(\Z/p\Z)\to\GL_2(\Z/p\Z)\xrightarrow{\det}(\Z/p\Z)^\times\to 1$$
y así,
$$|\SL_2(\Z/p\Z)|=\frac{|\GL_2(\Z/p\Z)|}{p-1}$$
Pero, es un ejercicio común (sólo contar el número de los distintos ordenó bases) que $|\GL_2(\Z/p\Z)|=(p^2-1)(p^2-p)$, y por lo tanto
$$|\SL_2(\Z/p\Z)|=\frac{(p^2-1)(p^2-p)}{p-1}=(p+1)(p^2-p)=p^3\left(1-\frac{1}{p^2}\right)$$
como se desee.
Ahora, supongamos que hemos demostrado que $\displaystyle |\SL_2(\Z/p^e\Z)|=p^{3e}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)$. Tenga en cuenta que tenemos la evidente proyección cartográfica $\Z/p^{e+1}\Z\to\Z/p^e\Z$ dado por la reducción del modulo $p$. Porque este es un mapa del círculo, esto induce a un homomorphism $f:\SL_2(\Z/p^{e+1}\Z)\to\SL_2(\Z/p^e\Z)$. Vamos ahora a calcular la cardinalidad de a $\ker f$.
Hemos de comenzar señalando que, a $\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\in\SL_2(\Z/p^{e+1}\Z)\in\ker f$ si y sólo si
$$\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\mod p^e$$
Así, que nos permiten contar el número de tales matrices en $\SL_2(\Z/p^{e+1}\Z)$) que satisfacen este. En otras palabras, que realmente estamos buscando el número de distintas matrices en $\SL_2(\Z/p^{e+1}\Z)$ de la siguiente forma:
$$\begin{pmatrix}mp^e+1 & \ell p^e\\ kp^e & np^e+1\end{pmatrix}\tag{$\af1$}$$
Tenga en cuenta que esta matriz, a priori sólo en $\text{Mat}(\mathbb{Z}/p^{e+1}\Z)$ $\SL_2(\mathbb{Z}/p^{e+1}\Z)$ si y sólo si su derterminant
$$(mp^e+1)(np^e+1)-\ell k p^{2e}\equiv p^e(m+n)+1\mod p^{e+1}$$
en realidad es equivalente a $1$ modulo $p^{e+1}$. Por lo tanto, necesitamos
$$p^e(m+n)+1\equiv 1 \mod p^{e+1}$$
para celebrar, que dice que $p\mid m+n$. Por lo tanto, el único requisito para hacer una matriz de la forma $\mathbf{(1)}$, los candidatos a estar en $\ker f$, para estar en $\SL_2(\Z/p^{e+1}\Z)$ es que el $p\mid m+n$ $k,\ell$ puede ser arbitraria.
Por lo tanto, tenemos que ver realmente cómo muchos distintas matrices son de la forma $\mathbf{(1)}$ $m,n,k,\ell$ rollo sobre los posibles valores en $\mathbb{Z}$. Bien, hasta equivalencia es fácil ver que el número de los distintos pares de $(m p^e,np^e)$ $(\mathbb{Z}/p^{e+1})^2$ tal que $p\mid m+n$$p$. Esto sólo sigue por el obvio hecho de que ese $m,n$ son sólo determinado modulo $p$, y que tales parejas están en una correspondencia uno a uno con el kernel de la obviamente surjective mapa
$$(\Z/p^2\Z)^2\to\Z/p\Z:(x,y)\mapsto x+y$$
y por lo tanto no se $\displaystyle \frac{p^2}{p}$ opciones. Puesto que los elementos $\ell,k$ son arbitrarias, sino que son sólo determinado modulo $p$, se deduce que hay $p^2$ opciones entre ellas. Así, el número total de las distintas matrices de la forma$\mathbf{(1)}$$\SL_2(\Z/p^{e+1}\Z)$$p^3$.
Entonces podemos concluir, por el primer teorema de isomorfismo que:
$$|\SL_2(\Z/p^{e+1}\Z)|=|\ker f||\SL_2(\Z/p^{e}\Z)|=p^3 p^{3e}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)=p^{3(e+1)}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)$$
y por lo tanto la inducción es completa.
De esto podemos deducir que
$$|\SL_2(\Z/N\Z)|=N^3\prod_{p\mid N}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)$$
de la siguiente manera. El anillo de isomorfismo
$$\Z/N\Z\cong \prod_{p\mid N}\Z/p^{e_p}\Z$$
viniendo de la CRT da lugar a un grupo de isomorfismo
$$\SL_2(\Z/N\Z)\cong\prod_{p\mid N}\SL_2(\Z/p^{e_p}\Z)$$
Por lo tanto,
$$\begin{aligned}|\SL_2(\Z/N\Z)| &= \prod_{p\mid N}|\SL_2(\Z/p^{e_p}\Z)|\\ &= \prod_{p\mid N}p^{3e_p}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)\\ &= \left(\prod_{p\mid N} p^{e_p}\right)^3\prod_{p\mid N}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)\\ &= N^3\prod_{p\mid N}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)\end{aligned}$$
EDIT: no sé por qué esto es de interés para usted, pero usted puede fácilmente deducir, a partir de esta $[\SL_2(\Z):\Gamma(N)]$, donde
$$\Gamma(N)=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\in\SL_2(\Z):\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\right\}$$
Eso es porque no hay una secuencia exacta
$$1\to \Gamma(N)\to\SL_2(\Z)\to\SL_2(\Z/N\Z)\to 1$$
(el surjectivity de la última mapa (que es sólo la reducción del modulo $N$) es un pequeño truco, la prueba se puede encontrar aquí). Esto es importante porque, $\Gamma(N)$ es el llamado "principio de congruencia subgrupo" de $\SL_2(\Z)$ y es el objeto de fundamental importancia en la clásica de las formas modulares.
zyx
Puntos
20965
La fórmula es la multiplicación de varios de los más simples, que se especializan en $n=2$.
- $SL_n(\mathbb{Z}/N \mathbb{Z}) = \prod SL_n(\mathbb{Z}/p^e \mathbb{Z})$. Desde el Teorema del Resto Chino.
- $|SL_n(\mathbb{Z}/p^e \mathbb{Z})| = p^{(n^2-1)(e-1)}|SL_n(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})|$. De la suavidad y de ($n^2-1$)-dimensionalidad de $SL_n$, en alguna de sus características.
- $|SL_n| = |GL_n|/(q - 1)$ sobre un campo finito de cardinalidad $q$. Desde el bijection entre invertible elementos y cosets de $GL / SL$.
- $|GL_n(\mathbb{F}_q)| = (q^n-1)(q^n-q) \dots (q^n - q^{n-1})$. "Bien conocidos".
El punto principal es la obstrucción Hensel de elevación (paso 2), la cual se manifiesta en la suavidad de $SL$ en cada una de las características.
