Igualdad en la desigualdad de números primos

Question

Es $3 = 2 + 1$ el único caso en que la igualdad se mantiene en el siguiente : $$ p_{n} \leq p_{1}p_{2} \cdots p_{n-1} + 1$$ donde $p_{r}$ denota el $r^{th}$ número primo.

Answer 1

Es el único caso.

Tenemos$p_n < p_1\dots p_{n-1}$ para$n \geq 3$. Podemos probar esto por inducción.

Para$n=3$ tenemos$5 < 2\times 3 = 6$. Ahora supongamos$p_{n-1} < p_1\dots p_{n-2}$. Según el postulado de Bertrand, hay un primer$p^*$% entre$p_1\dots p_{n-2}$ y$2p_1\dots p_{n-2}$. Como$p_1, \dots, p_{n-2} < p_1\dots p_{n-2}$, y según la hipótesis de inducción$p_{n-1} < p_1\dots p_{n-2}$, tenemos$p^* \neq p_1, \dots, p_{n-1}$, entonces$p^* \geq p_n$. Por lo tanto $p_n \leq p^* < 2p_1\dots p_{n-2} < p_1\dots p_{n-1}$.

Answer 2

Permita que$P=p_1\cdot p_2\cdots p_n$ sea el producto del primer$n$ primos con$p_n>3$.

Entonces$P$ se puede escribir como la suma de dos enteros que son coprimos a$P$ decir$P=a+b$.
Supongamos ahora que$p|a$ y$q|b$ para algunos números primos$p,q$. Suponemos que$p<q$.
Como$\gcd(a,P)=\gcd(b,P)=1$ podemos ver que$p>p_n$ así$p\geq p_{n+1}$y$q\geq p_{n+2}$.

Pero $a+b\geq p+q\geq p_{n+1}+p_{n+2}\geq 2\cdot p_{n+1}$ .
Entonces, hemos probado que$2\cdot p_{n+1} \leq a+b= P$ y entonces,$p_{n+1}\leq P/2<P-1$.
Entonces sí, la igualdad solo se cumple para$3$.

Answer 3

Bueno, dejemos que $q = p_1 *p_2 * ...*p_{n-1} +1$ Entonces $q$ no se puede dividir por $p_i$ para $i\leq (n-1)$ y $q$ no es igual a ninguno de estos $p_i$ .

Por lo tanto, o bien $q$ es primo o tiene un factor primo mayor que $p_{n-1}$ . Si $q$ es primo, obviamente $q \geq p_n$ . Si $q$ tiene un factor primo mayor que $p_{n-1}$ , entonces este factor primo debe ser $\geq p_n$ . Así, $q \geq p_n$ .

Actualización: En realidad, la respuesta de Michael Albanese muestra, que según el postulado de Bertrands: pn < 2 * pn-1. y por lo tanto pn < p1 * ...* pn-2 * pn-1 si 2< p1*...*pn-2 (#) Esto obviamente es el caso, tan pronto como pn-2 >2, es decir, tan pronto como en el lado derecho de la ecuación (#) el producto es al menos 2*3 = 6 (y siempre permanecerá > 2, por supuesto)