Notación en la fórmula del producto tensorial de la matriz Hadamard

Question

Estoy teniendo problemas para entender la notación utilizada en un álgebra lineal ejercicio (ejercicio 2.33 de Nielsen y Chuang "Computación Cuántica y la Información Cuántica", página 74).

El ejercicio permite a la matriz de Hadamard

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \Bigl[ (|0\rangle + |1\rangle)\langle 0| + (|0\rangle - |1\rangle)\langle 1| \Bigr]$$

y nos pide que nos muestran que

$$H^{\otimes n} = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x,y} (-1)^{x \cdot y} |x \rangle \langle y|$$

Mi entendimiento es que el $x$ $y$ en la suma de ejecutar a través de los vectores de la base para el producto tensor espacio, pero mi problema es que no entiendo lo que se supone que significa, en la que el exponente de a $(-1)$.

Pensé que me iba a interpretar en base $2$ ("$00$" como $0$, "$10$" como $2$, etc.), pero luego, a continuación, la fórmula no parece funcionar. Por ejemplo, $n=2$ y calcular el tensor de producto mediante la representación de la matriz de $H$:

$$H^{\otimes 2} = H \otimes H = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{rr} 1 \left[ \begin{array}{rr} 1&1 \\ 1&-1 \end{array} \right] & 1 \left[ \begin{array}{rr} 1&1 \\ 1&-1 \end{array} \right] \\ 1 \left[ \begin{array}{rr} 1&1 \\ 1&-1 \end{array} \right] & -1 \left[ \begin{array}{rr} 1&1 \\ 1&-1 \end{array} \right] \end{array} \right] = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right]$$

Pero, a partir de la fórmula dada en el libro (y probablemente mi interpretación errónea de $x$$y$), el coeficiente a, digamos, $|10 \rangle \langle 10|$ debe $(-1)^{2 \cdot 2} = 1$, pero el coeficiente correspondiente en la matriz es $-1$.

Siento que estoy siendo tonto y falta algo muy simple, pero no lo veo. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Vamos a empezar por considerar el caso base de la $n=1$, sólo $H$ sí:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \Bigl[ (|0\rangle + |1\rangle)\langle 0| + (|0\rangle - |1\rangle)\langle 1| \Bigr]=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl[|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 0|+|0\rangle \langle 1|-|1\rangle \langle 1|\Bigr].$$

Comparando esto con la fórmula $H^{\otimes 1} =H= \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{x,y} (-1)^{x \cdot y} |x \rangle \langle y|$, podemos ver que sólo el $x=y=1$ de los casos genera un signo menos. Así parecería que $x\cdot y=xy$ es suficiente para $n=1$.

Como se señaló en el questino, sin embargo, el significado de $x \cdot y$ no es evidente en la $n=2$ de los casos. Pero observe que el tensor de productos que recoger un signo menos son

$$ |0\rangle \langle 0| \otimes |1\rangle \langle 1|,\, |0\rangle \langle 1| \otimes |1\rangle \langle 1|,\, |1\rangle \langle 0| \otimes |1\rangle \langle 1|,\, $$ y sus transpuestas. Cada uno es tensored con una sola $|1\rangle \langle 1|$ del producto, el mismo que lleva el signo menos en $H$. Por otro lado, el producto $|1\rangle \langle 1|\otimes |1\rangle \langle 1|$ tiene un signo positivo; esto es natural, ya que $+1=(-1)^2$. Esto sugiere la interpretación

$$(-1)^{x \cdot y}|x\rangle \langle y | =(-1)^{x_1y_1}|x_1\rangle \langle y_1|\otimes (-1)^{x_2y_2}|x_2\rangle \langle y_2|=(-1)^{x_1y_1+x_2y_2}| x_1 x_2 \rangle \langle y_1 y_2 |.$$ Thus $x \cdot$ y debe ser interpretado como un adecuado producto escalar de los vectores de la base.