Cómo probar $\displaystyle{\sum_{n=m+1}^\infty} \frac{1}{n^2}\leq \frac1m$

Question

Necesito demostrar la siguiente desigualdad:

$$\sum_{n=m+1}^\infty \frac{1}{n^2}\leq \frac1m$$

Pero estoy atascado con él. He encontrado en Internet justificaciones geométricas para esto, pero me gustaría ver pruebas reales. ¿Alguna pista?

Answer 1

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{n=m+1}^\infty \frac{1}{n^2} &\le& \displaystyle \sum_{n=m+1}^\infty \frac{1}{(n-1)n} \\ &=& \displaystyle \sum_{n=m+1}^\infty \left(\frac{1}{n-1} - \frac1n \right) \\ &=& \displaystyle \left(\frac{1}m - \frac1{m+1} \right) + \left(\frac{1}{m+1} - \frac1{m+2} \right) + \cdots \\ &=& \dfrac1m \end{array}$$

Answer 2

Una pista:

Para cada $n$ tienes $$\frac1{n^2}\le\frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1n.$$

Answer 3

Pista: Comparar con la integral $\int_{m+1}^{\infty} {1\over x^2}dx$ .