Resolver un $1^\infty$ forma indeterminada.

Question

Estoy preparando mi examen de cálculo y no puedo resolver este límite:

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right)^x$$

El límite tiende a $1^\infty$ que es indeterminado. He probado varias cosas y no he podido solucionarlo.

¿Alguna idea? Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\tag{1}\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right)^x=\lim_{x\rightarrow\infty}e^{\displaystyle x\ln\left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right)}=e^{\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}x\ln\left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right)}$$ desde $e^x$ es una función continua.

Tenga en cuenta que $$\lim_{x\rightarrow\infty}x\ln\left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right)= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right)}{\frac{1}{x}} \cdot \left(\frac{0}{0}\right)$$ Podemos aplicar la regla de L'Hospital al límite anterior. Dado que $$\frac{d}{dx}\ln\left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right)=\frac{1-\tan(1/x)}{1+\tan(1/x)}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right) $$ $$=\frac{1-\tan(1/x)}{1+\tan(1/x)}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{1-\tan(1/x)}-1\right)=\frac{1-\tan(1/x)}{1+\tan(1/x)}\cdot \frac{2\sec^2(1/x)\cdot(-\frac{1}{x^2})}{(1-\tan(1/x))^2},$$ tenemos $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln\left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right)}{\frac{1}{x}}= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1-\tan(1/x)}{1+\tan(1/x)}\cdot \frac{2\sec^2(1/x)\cdot(-\frac{1}{x^2})}{(1-\tan(1/x))^2}}{-\frac{1}{x^2}}$$ $$\tag{2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1-\tan(1/x)}{1+\tan(1/x)}\cdot \frac{2\sec^2(1/x)}{(1-\tan(1/x))^2}=2.$$

Combinando $(1)$ y $(2)$ tenemos $\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right)^x=e^2.$

Answer 2

Asintótica ... $$\begin{align} \operatorname{tan} \biggl(\frac{1}{x}\biggr) &= \frac{1}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{2}{15 x^{5}} + O \Bigl(x^{(-6)}\Bigr)\\ 1 + \operatorname{tan} \biggl(\frac{1}{x}\biggr) &= 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{2}{15 x^{5}} + O \Bigl(x^{(-6)}\Bigr)\\ 1 - \operatorname{tan} \biggl(\frac{1}{x}\biggr) &= 1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{3 x^{3}} - \frac{2}{15 x^{5}} + O \Bigl(x^{(-6)}\Bigr)\\\frac{1 + \operatorname{tan} \Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)}{1 - \operatorname{tan} \Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)} &= 1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{8}{3 x^{3}} + \frac{10}{3 x^{4}} + \frac{64}{15 x^{5}} + O \Bigl(x^{(-6)}\Bigr)\\\left(\frac{1 + \operatorname{tan} \Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)}{1 - \operatorname{tan} \Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)}\right)^{x} &= \operatorname{e} ^{2} + \frac{4 \operatorname{e} ^{2}}{3 x^{2}} + \frac{20 \operatorname{e} ^{2}}{9 x^{4}} + O \Bigl(x^{(-5)}\Bigr) \end{align}$$

Answer 3

Tengo una solución alternativa sin el uso de la regla L'Hospital. Comience como Paul sugirió, pero cuando en la forma de

$$ \lim_{x \to \infty} x \log \left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right) $$

puede utilizar el hecho de que

$$ \lim_{y \to 1} \frac{\log y}{y - 1} = 1. $$

Utilizando este límite, la aritmética del límite y un límite de una función compuesta. Todo eso te ayuda a transformar el límite anterior en

$$ \lim_{x \to \infty} x \left(\frac{1+\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)} - 1\right) = \lim_{x \to \infty} x \left(\frac{2\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\right) = \lim_{x \to \infty} 2 \cdot \frac{\tan{1/x}}{\frac 1x} $$ Pasar de la segunda parte a la tercera requería otra aritmética para deshacerse del denominador, que obviamente es uno, porque es continuo. La última parte se puede resolver utilizando otro límite conocido $$ \lim_{y \to 0} \frac{\tan y}{y} = 1 $$

Así que sabemos que el límite es dos, aplicamos la función exponencial y obtenemos el resultado $e^2$ .

Espero que esto también ayude.

(Perdón por el desorden tipográfico [sin números de eq], todavía tengo que aprender a trabajar con este sistema).

Answer 4

Puede dejar el límite como $z$ y que $y=\ln(z)$ y luego utilizar la regla de L'Hospital para encontrar los límites de $y$ y finalmente $z$ se puede calcular $\exp (y)$

Answer 5

EDITAR : puede escribir su expresión como $$ \bigg(1+\frac{2\tan(1/x)}{1-\tan(1/x)}\bigg)^x \sim \bigg(1+\frac{2}{x}\bigg)^x \rightarrow e^2 $$ cuando $x\rightarrow \infty$ .