¿Existe alguna función estrictamente positiva de modo que tanto la derivada como la segunda derivada sean estrictamente negativas?

Question

Si$f(x) > 0$ sobre los reales ¿es posible tener$f'(x) < 0$ y$f''(x)< 0 $ sobre los reales? Suponiendo que$f$ se puede diferenciar dos veces.

Answer 1

Puede verse fácilmente que esa función no existe. Desde $f''$ es el negativo de la derivada $f'$ es estrictamente decreciente. Y más $f'$ es negativo por lo que se deduce que, o bien tiende a un límite negativo $L$ o a$-\infty$$x\to\infty$. Junto a la función original $f$ es estrictamente decreciente y acotada abajo por $0$ por lo tanto se tiende a un límite finito $M$. Ahora hay una contradicción evidente si tomamos como límite $x\to\infty$ en la siguiente ecuación (que es una consecuencia del Teorema del Valor medio) $$f(x+1)-f(x)=f'(\xi)\text{ for some } \xi\in(x, x+1)$$ because LHS tends to $M-M=0$ and RHS tends to a negative number $L$ or to $-\infty$.

Answer 2

Como$f''\leq 0$, su función es cóncava hacia abajo. Vamos a arreglar un punto$x_0\in\mathbb{R}$. Por concavidad tienes que $$ f (x) \ leq f (x_0) + f '(x_0) (x-x_0), \ qquad \ forall x \ in \ mathbb {R}. $$ Como$f'(x_0) < 0$, en comparación, tiene $$ \ lim_ {x \ to + \ infty} f (x) = - \ infty. $$