La idea final es correcta en general, como Michael Hardy señala, modulo algunas mejoras a lidiar con situaciones complicadas.
Sin embargo, yo quisiera señalar que algunos de los argumentos que conducen a la parte final son incorrectos:
Se supone que
$$b\lim_{h\to 0}\frac{a}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{ab}{h}.$$
Esto funcionará si $b$ no dependen $h$ (en el sentido de que cualquiera de los dos laterales existen y son iguales, o en ambos lados no existen), pero no puede mantener si $b$ no dependen $h$. A ver que no se puede sostener al $b$ depende de $h$, tenga en cuenta que la mano derecha lado no dependen $h$ (porque el valor de un límite a más de $h$), pero la izquierda no dependen $h$ (desde $b$ depende de $h$ y está fuera del límite, de modo que el lado izquierdo será una función de $h$, es decir,$b$, los tiempos de una constante, es decir, el valor del límite).
Por la misma razón, cuando escribe:
$$
\left(\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{h}\right) \cdot \frac{k}{k}
=\left(\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\right) \cdot \frac{k}{h}$$
ejecutar en problemas, porque no se puede simplemente tirar de la $h$ fuera del límite es un límite a más de $h$, y debido a $k$ depende de $h$, por lo que no se puede mover dentro y fuera de un límite a más de $h$ como una constante.
Lo que usted necesita en ambos casos es el "producto de la regla de los límites": si
$$\lim_{h\to 0}\;k\quad\text{and}\quad \lim_{h\to 0}\;m\quad\text{both exist, then }\lim_{h\to 0}\;km = \left(\lim_{h\to 0}\;k\right)\left(\lim_{h\to 0}\;m\right),$$
que es lo que uso en los párrafos finales.
Queremos encontrar
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}.$$
Usted proponer la definición de $k(h)$ (y es importante para mantener la dependencia de las $h$ explícito, para evitar los errores que cayó en)
$$k(h) = g(x+h)-g(x)$$
por lo que podemos reescribir
$$\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} = \frac{f(g(x)+k(h)) - f(g(x))}{h}.$$
Nada malo aquí. Intuitivamente, lo que queremos hacer es reescribir de nuevo en
$$\begin{align*}
\frac{f(g(x)+k(h)) - f(g(x))}{h} &= \frac{f(g(x)+k(h)) -f(g(x))}{k(h)}\cdot\frac{k(h)}{h}\\
&= \frac{f(g(x)+k(h)) - f(g(x))}{k(h)}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h},
\end{align*}$$
y, a continuación, utilice el hecho de que un límite de un producto es el producto de los límites (si ambos existen), y un cambio de variable en el primer límite de$h$$k$, para deducir la Regla de la Cadena.
El problema con esto es que la reescritura es válido sólo si $k(h)\neq 0$ al $h\neq 0$; de lo contrario, las dos funciones no son iguales, ya que no tienen el mismo dominio. Es decir, sabemos que $k(h)=g(x+h)-g(x)$ $0$ al $h=0$, pero es posible para $k(h)$ a sea igual a cero para otros valores de $h$; y en los valores, $\frac{f(g(x)+k(h))-f(g(x))}{h}$ está definido, pero $\frac{f(g(x)+k(h))-f(g(x))}{k(h)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ es no, y no tenemos la igualdad.
Si usted piensa acerca de ello, sin embargo, en los lugares donde la $k(h)=0$, tenemos que
$$\frac{f(g(x)+k(h))-f(g(x))}{h}=0.$$
Así que la forma más sencilla de hacer este trabajo es el uso de una diferente función en lugar de
$$\frac{f(g(x)+k(h)-f(g(x))}{k(h)}$$
en el lado derecho, que es igual a $f'(g(x))$ al $k(h)=0$ (el valor que queremos llegar), y es igual al valor anterior al $k(h)\neq 0$.
Entonces definimos una función de $G(h)$ como sigue:
$$G(h) = \left\{\begin{array}{ll}
\frac{f(g(x)+k(h))- f(g(x))}{k(h)} &\text{if }k(h)\neq 0\\
f'(g(x))&\text{if }k(h)=0.
\end{array}\right.$$
Con esta función, nos hacen tener que
$$\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} = G(h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$
para todos los $h$. Ya que en los mismos valores en todos los valores de $h$ (con la excepción de $h=0$, donde son indefinidos), los dos tienen el mismo límite como $h\to 0$:
$$\lim_{h\to 0}\left(\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \right)= \lim_{h\to 0}\left(G(h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right).$$
Ahora,
$$\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g'(x),$$
así que si $\lim\limits_{h\to 0}G(h)$ existe, entonces vamos a ser establecido.
Ahora, $k(h) = g(x+h)-g(x)$;$h\to 0$, $k(h)\to 0$ porque $g$ es continua en a $x$ (en virtud de ser diferenciable en a $x$).
Si $k(h)=0$ para todos los valores de $h$ cerca de $0$, luego
$$\lim\limits_{h\to 0}G(h) = \lim_{h\to 0}f'(g(x)) = f'(g(x)).$$
Si $k(h)\neq 0$ todos los $h$ cerca de $0$ (excepto en $h=0$), luego podemos hacer un cambio de variable: desde $\lim\limits_{h\to 0}k(h) = 0$, tenemos:
$$\begin{align*}
\lim_{h\to 0}G(h) &= \lim_{h\to0}\frac{f(g(x)+k(h)) - f(g(x))}{k(h)}\\
&= \lim_{k(h)\to 0}\frac{f(g(x)+k(h)) - f(g(x))}{k(h)}\\
&= f'(g(x)).
\end{align*}$$
La justificación de esta formalmente requiere epsilon y los deltas, pero la idea es: que podemos hacer $k(h)$ arbitrariamente cerca de $0$ hacer $h$ arbitrariamente cerca de $0$, por lo que el límite de $h$ enfoques $0$ equivale a lo mismo que el límite de $k(h)$ se aproxima a cero.
Lo que si $k(h)$ no es constante cero, sino que toma el valor de $0$ arbitrariamente pequeños valores de $h$ (es decir, por cada $\delta\gt 0$ podemos encontrar $h$ $(-\delta,\delta)$ donde $k(h)=0$, y se puede encontrar $h'$ $(-\delta,\delta)$ donde $k(h)\neq 0$)? Entonces uno necesita argumentar con cuidado de que el límite de
$$\lim_{h\to 0}G(h)$$
todavía es igual a $f'(g(x))$; esto es difícil de hacer de manera informal, y no existen "reglas sobre el límite" para que nos ayuden. Tendría que ver la prueba con epsilon y delta. Uno puede pensar en esto como un lugar de "extrema y casi patológica" del caso, y a la facilidad de los casos por encima de seguir la intuición que tuvo bastante bien, una vez que arreglar los problemas con la manipulación de los límites.
Dando esto por sentado, tenemos:
$$\begin{align*}
\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} &= \lim_{h\to 0}\frac{f(g(x)+k(h)) - f(g(x))}{h}\\
&= \lim_{h\to 0}\left(G(h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\
&= \left(\lim_{h\to 0}G(h)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\
&= f'(g(x))g'(x).
\end{align*}$$
