subgrupo de orden$11$ se encuentra dentro de$Z(G).$

Question

Necesito ayuda para resolver este problema: Permitir que$G$ sea un grupo de orden$231.$ Necesitamos mostrar que el subgrupo de orden$11$ se encuentra dentro de$Z(G).$

Answer 1

Aquí es una manera alternativa de hacerlo:

Muestran que el grupo tiene un único subgrupo de orden $11$ (a formular la pregunta tiene sentido). De esta manera se sigue directamente de los teoremas de Sylow.

Deje $H$ ser este subgrupo (que es normal). $G/C_G(H)$ es isomorfo a un subgrupo de $\rm{Aut}(H)$ por el normalizador/centralizador teorema. Pero el automorphism grupo de $H$ orden $10$, que es coprime a $|G|$, por lo que la única posibilidad es que el $C_G(H) = G$, lo que significa que $H$ es central en $G$.

Edit: A ver que $G/C_G(H)$ es isomorfo a un subgrupo de $\rm{Aut}(H)$, podemos definir un mapa de $G$ $\rm{Aut}(H)$mediante el envío de cada una de las $g\in G$ a de la conjugación por $g$ (es decir, el mapa de $H$ a de $h\mapsto ghg^{-1}$). Luego comprobamos que este mapa es un homomorphism y ha kernel igual a $C_G(H)$.

Answer 2

Aquí es un esquema para una solución diferente, puede intentar completar los detalles.

Por Sylow del teorema, el grupo $G$ tiene un subgrupo normal $P$ orden $11$ y también un subgrupo normal $H$ orden $7$. Debido a que cada grupo de orden $33$ es cíclica, $G/H$ es abelian y $G' \leq H$. Por lo tanto, $P$ es un subgrupo normal y $P \cap G' = \{1\}$, lo que implica que $P \leq Z(G)$.

Este es el mismo enfoque a veces funciona para ejercicios similares (es decir, ejercicios como "Demostrar que el subgrupo de $X$ es central"). Sin embargo, no siempre funciona desde $P \leq Z(G)$ no implica $P \cap G' = \{1\}$. En general yo recomiendo usar el normalizador/centralizador teorema como en Tobias respuesta.

Answer 3

Sin embargo, otro enfoque:
En primer lugar, desde$[G:H] \equiv [N_GH:H] \equiv -1 \pmod{11}$, concluimos que$H$ es normal en$G$. Luego, defina una acción de$G$ en$H$ por conjugación. Nuevamente por la ecuación de clase, tenemos
$|H|=|K| +\Sigma |O_i|$, donde K es el conjunto de puntos fijos y$O_i$ son órbitas. Pero$|H|$ es primo, por lo que$|K|=0$, o$|K|=11$. Como la identidad siempre es fija, concluimos que$K=H$, es decir,$H$ se encuentra en el centro de$G$.