Suavidad de$\frac12[W_0(x)+W_{-1}(x)]$ de real$x<0$

Question

La W de Lambert-función, es decir, los varios valores de la inversa de $z=we^w$, ha countably muchos de valores complejos de ramas de $W_k(z)$. Las relaciones entre las ramas son un poco involucrados y se resumen aquí. Vamos a considerar el comportamiento de la $k=0,-1$ ramas de $x<0$. Usando Mathematica, se obtienen los siguientes parcelas:

Dejando de lado la línea verde por el momento, los dos parcelas de dar a las partes real e imaginaria, respectivamente, de $W_0(x)$ (azul) y $W_{-1}(x)$ (naranja). A partir de esto, podemos ver que ambas ramas son reales para $x\in (-1/e,0)$. (El $k=0$ rama es, además, la real positivo real $x$; ninguna de las otras ramas de obtener los valores reales a lo largo de la línea real.) Esto no es sorprendente, ya que estas ramas corresponden a los dos reales-valores de los inversos de las $z=we^w$ a lo largo de la línea real.

Lo que quizás sea sorprendente, sin embargo, es que (de acuerdo a esta parcela) $\overline{W_{-1}(x)}=W_{0}(x)$ todos los $x\in (-\infty,-1/e)$. (Una derivación de este hecho puede encontrarse en el Q&A vinculados en los comentarios de abajo.) A partir de esto, llegamos a la conclusión de que el promedio de estas dos ramas, $\frac{1}{2}(W_0(x)+W{-1}(x))$, es real para todos los reales negativos $x$. Esta es la línea verde trazada anteriormente, y a partir de la primera parcela además de determinar que $\frac12 (W_0+W_{-1})$ es suave a través del punto de $x=-1/e$. (Más conspiraban en Mathematica sugiere que $\frac12 (W_0+W_{-1})$ es analítica para todos los $x\neq 0$ tal que $-\pi < \text{arg }x \leq \pi$.)

para todos los $x<0$ pero no holomorphic a través de la línea real.) Por el contrario, las dos ramas tienen raíz cuadrada de ramificación en $x=-1/e$.

Esta última propiedad de $\frac{1}{2}(W_0+W_{-1})$ sigue siendo un misterio para mí, así que mi pregunta es:

¿Por qué es $\frac{1}{2}(W_0(x)+W{-1}(x))$ una función uniforme para todos los verdaderos $x<0$?

Answer 1

No es una respuesta completa, sólo quiero mostrar por qué la $\,\displaystyle\frac{W_0(x)+W_{-1}(x)}{2}\,$ es real,$\,x<0\,$ .

Podemos parametrizar $\,\displaystyle W_0(x)=-\ln ((1+\frac{1}{t})^t) \,$ $\,\displaystyle W_{-1}(x)=-\ln ((1+\frac{1}{t})^{t+1})\,$

(donde $\,t\,$ es complejo) y de la siguiente manera $\,\displaystyle \frac{W_0(x)+W_{-1}(x)}{2}=-\ln ((1+\frac{1}{t})^{t+\frac{1}{2}})\,$ .

Utilizando, por ejemplo, $\,\displaystyle t:=\frac{1}{e^{-i\alpha}-1}\,$ real $\,\alpha\,$ podemos expresar el complejo de la línea de $\,W_0(x)\,$ $\,\displaystyle \frac{i\alpha}{e^{-i\alpha}-1}\,$

y $\,W_{-1}(x)\,$$\,\displaystyle \frac{-i\alpha}{e^{i\alpha}-1}\,$, de modo que vemos a $\,\overline{W_{-1}(x)}=W_0(x)\,$ .

De ello se sigue que $\,\displaystyle \frac{W_0(x)+W_{-1}(x)}{2}=-\ln ((1+\frac{1}{t})^{t+\frac{1}{2}})= -\frac{\alpha}{2}\cuna\frac{\alpha}{2}\,$ which is real (for $\,x<0\,$).