Integración compleja mediante el teorema de Cauchy

Question

El problema es la integración de $$I=\int_{\left\lvert z-1\right\rvert=1} f(z) dz$$ donde $$f(z)=\frac{1}{z^3-1}$$ y el camino va $1$ bucle en sentido positivo.

Intenté resolver el problema utilizando el Teorema de Cauchy encontrando $z$ que hace $f(z)$ denominador sea $0$ . Eso fue $z=1$ .

Y me golpearon.

Creo que la integral hay que tratarla de alguna manera para que

$$\int_{C_a}\frac{1}{(z-\alpha)^n}dz = 2{\pi}i \text{ when } n=1$$

se puede utilizar.

Mi pregunta es ¿cómo debo continuar con la integral?

Answer 1

Pista: En $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$ observe la siguiente función $g(z)=\frac{1}{z^2+z+1}$ . Entonces de Fórmula integral de Cauchy ya que $1 \in \{ z : | z 1| < 1\}$ $$g(1)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z1|=1} \frac{g(z)}{z-1}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z1|=1} \frac{1}{z^3-1}dz$$

Answer 2

El único polo de $f(z)$ en el círculo es $z=1$

Según el teorema del residuo $$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i \operatorname {Res} (f,1)$$ Y tenemos $\operatorname {Res} (f,1)=\lim_{z\to 1} \, \dfrac{z-1}{z^3-1}=\lim_{z\to 1} \, \dfrac{1}{z^2+z+1}=\dfrac{1}{3}$

Así $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=\dfrac{2 i \pi }{3}$

Espero que esto ayude

Answer 3

Nota: La sugerencia de @rtybase es esencialmente la respuesta a la pregunta de OPs. Recordemos _Fórmula integral de Cauchy_ :

Si $a$ está en el interior de $\gamma=\{z:|z-1|=1\}$ y una función $g$ es holomorfa en una región que contiene el cierre del interior de $\gamma$ entonces \begin{align*} g(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{g(z)}{z-a}\,dz \end{align*}

Nos encontramos en la siguiente situación:

La función $f(z)=\frac{1}{z^3-1}$ tiene tres polos simples en $z_0=1$ y $z_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$ . El poste $z_0=1$ está en el interior de $\gamma$ . Podemos escribir $f(z)$ como \begin{align*} f(z)=\frac{1}{z^3-1}=\frac{1}{(z-1)(z^2+z+1)} \end{align*} y observa: Desde $g(z)=\frac{1}{z^2+z+1}$ es holomorfa en el interior de $\gamma$ obtenemos \begin{align*} g(1)&=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{g(z)}{z-1}\,dz\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{1}{(z-1)(z^2+z+1)}\,dz\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} f(z)\,dz\\ \end{align*}

Finalmente concluimos \begin{align*} \oint_{\gamma} f(z)\,dz=2\pi i\, g(1)=\frac{2\pi i}{3} \end{align*}

Answer 4

Determinar qué raíces del denominador están contenidas en la curva dada $|z - 1| = 1$ encuentra los residuos en esas raíces, y calcula usando el Teorema del Residuo.