Una fracción continua con números compuestos

Question

¿Cuál es el límite de la fracción continua cuyos denominadores parciales son los compuestos?

Answer 1

Que la fracción continua converge puede establecerse fácilmente a través de la Teorema de Śleszyński-Pringsheim .

Como referencia, aquí hay algunos Mathematica código para calcular este número a prec cifras significativas, que es similar al código dado aquí :

Composite[n_Integer?Positive] := FixedPoint[(n + PrimePi[#] + 1) &, n]

prec = 500;
y = N[1, prec + 5]; c = y; d = 0; k = 1;
While[True, p = Composite[k];
  c = p + 1/c; d = 1/(p + d);
  h = c*d; y *= h;
  If[Abs[h - 1] <= 10^(-prec), Break[]];
  k++];
N[y, prec]

que da como resultado

1.2401934727135404029076599016536194388048699040219547605714142461125675308578993967074435368972054040499444569870631879216700131159033931437886878647547511888183754244113415120681779806667661819237665606323444679166964461726592199240306129802843968806256258252294199900746887849052219088971773650043418994122502389225153031976851620685269261818925150482368821451503313305347497194089489582641069356680422299551667227442255378383831719803128578492721019246089346156505612206821587675561358847518295030

Su recíproco es

0.80632580480527957525355985703886211400308652751886019336591742291710688332574070079436098605441519195401666000252471896335967661438294029308273049422789739675889321789197956373719153024896914087422889469613361550097143208723090059691265863842011401757403471316704470493263754267277999620082114009184258161800044132073167763756696153308835343268670549110722478950038217797937443267139158452067897088395434297330559287749430628860526069885283389279384016537671968819880420551471111687607529969189158471

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Gerry ha dicho que el inversor de Plouffe no puede reconocer estos números; tampoco el ISC .

Answer 2

Puede que caigas ahí porque buscas una representación vectorial ligeramente desplazada en Google Maps mientras que está bien en otras capas base y transformar EPSG:4326 a EPSG:900913 o EPSG:3857 no lo resuelve todo.

Hay un error en Google Maps que no evalúa bien el tamaño del div cuando se inicia el objeto OpenLayers Map si aún no es visible. Así que después de las llamadas a transform() y redraw(), es posible que tenga que hacer myMapObject.updateSize(); para que Google conozca la proporción real de su mapa en la pantalla.

Si busca una solución genérica para transformar las capas de una proyección a otra, puede utilizar esta función:

var myMap = new OpenLayers.Map('mapDiv');

function mapBaseLayerChanged(evtObj) {
  var mapProj, baseProj, map_this, newBase;
  map_this = this;
  newBase = evtObj.layer;
  mapProj = (map_this.projection && map_this.projection instanceof OpenLayers.Projection) ?
            map_this.projection : new OpenLayers.Projection(map_this.projection);
  baseProj = newBase.projection;
  if (!(baseProj.equals(mapProj))) {
     var center, maxExt;
     center = map_this.getCenter().transform(mapProj, baseProj);
     maxExt = newBase.maxExtent;
     map_this.projection = baseProj;
     map_this.maxExtent = maxExt;
     map_this.setCenter(center, map_this.getZoom(), false, true);
     // Transforms all sub-layers
     for (var i = 0; i < map_this.layers.length; i++) {
        if (map_this.layers[i].isBaseLayer == false) {
           map_this.layers[i].addOptions({projection: baseProj}, true);
           // Transforms all features of the vectors
           for (var j = 0; j < map_this.layers[i].features.length; j++) {
              map_this.layers[i].features[j].geometry.transform(mapProj, baseProj);
           }
           map_this.layers[i].redraw();
        }
     }
     //Solves Google's problem (and mine at the same occasion)
     map_this.updateSize();
  }
}
myMap.events.register('changebaselayer', myMap, mapBaseLayerChanged);

¡Et voilà!