$K[[x]]$ no es un anillo de Jacobson

Question

Recordemos que un anillo se llama Jacobson si el radical de un ideal en la intersección de los ideales máximos que lo contiene (esto es siempre cierto con los ideales primos).

$K[[x]]$ no es Jacobson.

Sé que este anillo es local con $(x)$ como su único ideal maximal, por lo que debería encontrar un ideal primo que no contenga $(x)$ ¿alguna pista o sugerencia?

Answer 1

Para resolver esta cuestión: $\{0\}$ es lo que está buscando.

En realidad es el único otro ideal primo en todo el anillo ya que los ideales no triviales se parecen todos a $(x^n)$ .

Pensando un poco en esto, se puede ver que un anillo local es Jacobson si y sólo si sus primos son máximos. En particular, los anillos locales con dimensión de Krull de $1$ o más no puede ser Jacobson.

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También se puede generalizar esto fuera de este ejemplo de dominio ideal principal local a los dominios Dedekind. Dado que los primos no nulos son maximales en los dominios Dedekind, la única pregunta que queda por responder es "¿es el ideal cero una intersección de ideales maximales o no?"

Si un dominio Dedekind tiene un número finito de ideales máximos, la intersección de todos estos ideales es distinta de cero, por lo que ninguna combinación de ideales puede intersecar a cero. En este caso, no es Jacobson.

Por otro lado, supongamos que tenemos un dominio Dedekind con infinitos ideales primos. Si la intersección de todos los primos es distinta de cero, entonces tiene una factorización única en términos de potencias finitas de ideales primos. Pero como "divide significa contiene", y todos los ideales primos contienen (dividen) este ideal, todos los ideales primos tendrían que aparecer en su factorización (pero hay demasiados).