Permita que$z$ sea un punto en el plano complejo, y$\gamma$ sea una curva cerrada. ¿Es posible que$$n(\gamma,z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{dw}{w-z}$ $ se vuelva ilimitado? En otras palabras, ¿es posible encontrar una curva$\gamma$ de forma que se curve alrededor de un punto fijo infinitamente muchas veces?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sin pérdida de generalidad, nos muestran que la liquidación número de alrededor de $0$ es finito (la general de la prueba de la siguiente manera por traducir el plano complejo).
Recuerde la definición alternativa de la liquidación número: si $\gamma$ es un camino cerrado, podemos optar por una elección continua de argumento $\theta:[0,1] \to \mathbb R$ tal que $$\frac{\gamma(t)}{|\gamma(t)|}=\mathrm e^{i\theta(t)}$$
La liquidación número puede ser definida como$$w(\gamma, 0)=\frac{1}{2\pi}\big(\theta(1) - \theta(0)\big)$$
Pero $\theta$ es una función continua en un compacto conjunto de lo que es acotado. En particular, la liquidación número es finito.
