Determine la constante para que la integral sea minimamente

Question

Supongamos que$a<b$ y que$f$ es continuo en el intervalo$[a,b]$,

Determine K para que la integral:

ps

se minimiza, también, ¿qué es este mínimo?

Encontré preguntas similares pero ninguna funcionaba con$$\int_a^b (f(x) - K)^2 dx$

Answer 1

Sugerencia Uno puede escribir $$ \ int_a ^ b (f (x) - K) ^ 2 dx = K ^ 2 \ int_a ^ bdx-2K \ int_a ^ bf (x) \: dx + \ int_a ^ b [f (x)] ^ 2 dx$$ and one may see the above expression as a quadratic function depending on $ K $.

Answer 2

Deje que la función de $g(x,y)=(f(x)-y)^2$. Conjunto $ G(y)=\int_{a}^{b}g(x,y)\;{\rm d}x. $ El punto mínimo de $G$ es un punto crítico de $G$. Es decir, un punto de $y^\ast$ tal que $ G^\prime(y)=0 $. Por Libinitz integral de la regla, $$ G^\prime (y)\Big|_{y=y^\ast} = \frac{{\rm d}}{{\rm d } y}\int_{a}^{b}g(x,y)\;{\rm d } x\Big|_{y=y^\ast} = \int_{a}^{b}\frac{{\rm \parcial}}{{\rm \parcial } y}g(x,y)\;{\rm d } x\Big|_{y=y^\ast} = \int_{a}^{b}-(f(x)-y)\;{\rm d } x\Big|_{y=y^\ast} \\ = (b-a)y\Big|_{y=y^\ast}-\int_{a}^{b}f(x)\;{\rm d} x=0 $$ A continuación, el punto mínimo de $G(y)$ es $$ y^\ast=\frac{1}{b}\int_{a}^{b}f(x){\rm d} x $$ Y $$ G\left(y^\ast\right)=G\left(\frac{1}{b-a)}\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x \right) \\ =\int_{a}^{b} \left[ f(x)- \frac{1} {b-a)}\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x \right)^2 {\rm d}x \\ = \int_a^b f(x)^2{\rm d} x-\frac{1} {b-a)}\left[ \int_a^b f(x){\rm d} x\right)^2 $$

Answer 3

Puede que sea excesivo para esta pregunta (las otras respuestas tomadas de manera muy eficiente en el cálculo), pero creo que el $L^2$ enfoque debe ser de al menos hablado aquí.

Consideremos el espacio de Hilbert $L^2(a,b)$ (clases de) funciones cuyo cuadrado es integrable en a $[a,b]$, con su habitual producto interior $(f|g) = \int_a^b f(x)g(x) \mathrm{d}x$ y la norma $||f|| = \sqrt{(f|f)}$.

A continuación, $\int_a^b (f(x) - K)^2 \mathrm{d}x = (f-K|f-K)$ es la distancia de la función de $f$ a la función constante $K$. Por la proyección sobre convexo teorema, más precisamente en un subespacio cerrado de aquí (la constante de funciones son un subespacio cerrado no vacío de a $L^2(a,b)$), el mínimo se alcanza en la única función constante $C$ tal que $(f - C|K) = 0$ para todas las constantes $K$.

A continuación, puede comprobar (mediante la evaluación de a $K = 1$ por ejemplo) que $C = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x.$

Como he dicho, puede ser una exageración, pero el resultado que aquí se presenta fácilmente generalizar a problemas similares donde cálculo no será capaz de proporcionar una respuesta (y es a menudo considerado como la clásica manera de manejar este tipo de problema).

PS : Además, creo que da una buena interpretación geométrica del resultado : el más cercano constante a $f$ en términos de $L^2$ norma es su propia integral ; uno podría interpretarlo como una especie de "media" de la función $f$ en el intervalo.