Estoy trabajando en un ejercicio de Atiyah y MacDonald Álgebra Conmutativa, y han alcanzado un golpe en el Ejercicio 14 del Capítulo 1.
En un anillo de $A$, vamos a $\Sigma$ ser el conjunto de todos los ideales en los que cada elemento es un cero divisor. Mostrar que el conjunto de $\Sigma$ máximo de elementos y que cada elemento maximal de a $\Sigma$ es un alojamiento ideal. Por lo tanto el conjunto de cero-divisores en $A$ es un sindicato de primer ideales.
Veo por una aplicación del Lema de Zorn que $\Sigma$ máximo de elementos. Aprovecho $\mathfrak{m}$ a ser máxima en $\Sigma$,$xy\in\mathfrak{m}$. Desde $xy$ es un divisor de cero, $xyz=0$ algunos $z\neq 0$. Si $yz=0$, $y$ es un divisor de cero, de lo contrario $x$ es un divisor de cero. Así que supongo que, a continuación, desea mostrar a $x\in\Sigma$ o $y\in\Sigma$. Si no es, entonces, $\mathfrak{m}$ está correctamente contenida en $(\mathfrak{m},x)$$(\mathfrak{m},y)$. Sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrar cualquiera de estos ideales es nuevo en $\Sigma$.
Si mi interpretación es correcta, elementos de $(\mathfrak{m},x)$ son finitos sumas de la forma $\sum_ia_im_i+bx$ $a_i\in A$, $m_i\in\mathfrak{m}$ y $b\in A$. Para mostrar esta suma es un divisor de cero, mi impresión es que si $c_im_i=0$$c_i\neq 0$$dx=0$$d\neq 0$, luego $$ \left(\sum_ia_im_i+bx\right)(d\prod_ic_i)=0. $$ Mi preocupación es que quizás $d\prod_ic_i=0$, por lo que las anteriores no muestran que $(\mathfrak{m},x)$ se compone de sólo divisores de cero. ¿Cómo puedo evitar esto? O acaso hay un mejor enfoque? Gracias por su ayuda.
