¿Por qué estas representaciones de $\mathbb Z_n$ ¿no es irreducible?

Question

El Grupos cíclicos $(\mathbb Z_n,+)$ tienen varias representaciones. Esta respuesta afirma que la única representaciones irreducibles son

• 1-dimensional, con la matriz a real $n$ raíz de la unidad;
• 2-dimensional, con la matriz $\left(\begin{smallmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{smallmatrix}\right)$ donde $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$ pero $\sin\theta \neq 0$ .

¿Pero qué pasa con otras representaciones matriciales unitarias mínimas?

Tomemos como ejemplo $\mathbb Z_6$ que tiene otras representaciones. Como las 6 permutaciones cíclicas de

$$\pmatrix{1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1} $$

se construye moviendo repetidamente la columna más a la izquierda hacia el lado derecho de la matriz y desplazando todas las demás columnas un espacio hacia la izquierda.

O la representación de 6 matrices de 5x5 construidas a partir de la suma directa de las $\mathbb Z_2$ y $\mathbb Z_3$ representaciones

$$\left\{\pmatrix{1&0\\0&1},\pmatrix{0&1\\1&0}\right\} $$ y $$\left\{\pmatrix{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1},\pmatrix{0&0&1\\1&0&0\\0&1&0},\pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\1&0&0}\right\} $$ respectivamente.

Ninguna de estas representaciones puede escribirse como una suma directa de otras representaciones de $\mathbb Z_6$ . En otras palabras, por lo que puedo decir, estas representaciones sólo tienen subrepresentaciones triviales; por lo tanto, por qué no deberían considerarse irreductibles (según la pregunta enlazada)?

Answer 1

Con $\mathbb{Z}_6$ actuando sobre $\mathbb{R}^6$ por desplazamientos cíclicos de coordenadas, las subrepresentaciones irreducibles son

• El tramo 1D de $(1,1,1,1,1,1)$
• El tramo 1D de $(1,-1,1,-1,1,-1)$
• El espacio 2D $\{(a,b,c,a,b,c):a+b+c=0\}$
• El espacio 2D $\{(a,-b,c,-a,b,-c):a+b+c=0\}$

Con $\mathbb{Z}_6\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3$ actuando sobre $\mathbb{R}^2\oplus\mathbb{R}^3$ por desplazamientos cíclicos de coordenadas en cada componente, son

• El tramo 1D de $(1,1,0,0,0)$
• El tramo 1D de $(1,-1,0,0,0)$
• El tramo 1D de $(0,0,1,1,1)$
• El espacio 2D $\{(0,0,a,b,c):a+b+c=0\}$