En incrustaciones de grupos de Lie

Question

Deje $G$ ser una Mentira grupo con identidad componente $G_0$, de tal manera que $G_0$ incrusta como un subgrupo cerrado en algunos otros conectado Mentira grupo $\widetilde{H}$. A continuación, se debe siempre existir una Mentira grupo $H$ con identidad componente $H_0 = \widetilde{H}$, de tal manera que $G$ incrusta como un subgrupo cerrado en $H$ ?

Como $G_0$ siempre es un subgrupo normal de $G$, mi idea era examinar la breve secuencia exacta $0 \to G_0 \to G \to G/G_0 \to 0$ donde $G/G_0$ es una contables grupo discreto, cuyos elementos pueden ser representados por el (contables muchos) de los componentes de $G$. Si esta secuencia se divide, podemos identificar a $G = G_0 \rtimes_{\phi} F$ $F$ algunas contables grupo discreto y $\phi: F \to Aut(G_0)$ algunos homomorphism. Ahora si que hay una manera para "extender" $\phi$ a un homomorphism $\tilde{\phi}: F \to Aut(\tilde{H})$ de tal manera que por cada $f \in F$, $\tilde{\phi}(f)|_{G_0} = \phi(f)$ (esto es equivalente a la necesidad de que cada automorphism en la imagen de $\phi$ puede ser extendido a un automorphism en $\widetilde{H}$), $H := \widetilde{H} \rtimes_{\tilde{\phi}} F$ sería necesario Mentir grupo.

Sin embargo, esta es sólo una respuesta parcial, ya que no siempre parece ser el caso de que esta secuencia se divide (en general, parece existir Mentira grupos que no puede ser descompuesto como el semi-producto directo de un grupo discreto y de su identidad componente). Por otra parte, incluso si tenemos una división, no estoy seguro de cuándo exactamente se puede ampliar la homomorphism $\phi$ en el modo descrito anteriormente.

Answer 1

SUGERENCIA: No es posible en general ( he cambiado las notaciones, estaban en contra de la intuición para mí)

Dicen que tenemos $H$ conectado incrustada en $G$ conectado. Deje $\mathfrak{S}$ finita grupo de automorfismos de a $H$. Considerar la semidirect producto $H \rtimes \mathfrak{S}$ que se ajusta en la división de la secuencia exacta $$1 \to H \to H \rtimes \mathfrak{S} \to \mathfrak{S} \to 1$$ Recordemos que en $H \rtimes \mathfrak{S}$ la composición es $$(h_1, s_1) (h_2 s_2)= (h_1 \cdot s_1(h_2) , s_1 s_2) $$ La acción de la $\mathfrak{S}$ es, de hecho, por la conjugación. Ya tenemos $$h_1 s_1 h_2 s_2 = h_1 (s_1 h_2 s_1^{-1}) s_1 s_2$$ inside $H\rtimes \mathfrak{S}$.

La pregunta es si tenemos una Mentira grupo $\tilde G$ con identidad componente $G$ que contiene $H\rtimes \mathfrak{S}$. Si ese $\tilde G$ existe $G$ será un subgrupo normal de $\tilde G$. La acción de la $\mathfrak{S}$ por la conjugación en $H$ se extiende a una acción de $\mathfrak{S}$$G$. Pero eso no es siempre posible

Como un ejemplo, considere la diagonal involucración $H = (0, \infty)\times (0,\infty) \subset GL(2,\mathbb{R})_{+}$, y la acción de la $\mathbb{Z}/2$ en $H$, $(a,b)\mapsto (a^{-1}, b)$. Esta acción no se extiende a una acción en $GL(2, \mathbb{R})_{+}$. En efecto, cada automorphism de $GL(2, \mathbb{R})_{+}$ conserva o invierte el factor determinante.