Creo que he descubierto una prueba de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ pero no estoy seguro

Question

No soy un matemático/estudiante de matemáticas/matemático aficionado. Sólo soy un tipo que se prepara para un examen tipo GMAT. Anoche no pude dormir porque estaba perdido en mis pensamientos en la cama y me vino esta prueba. No pretendo que sea una prueba "nueva"; quizás ya sea bien conocida. Pero en el pasado me he llevado bastantes decepciones cuando creía haber "descubierto" algo, cuando en realidad sólo se trataba de una mala comprensión del problema y los elementos relacionados.

Por favor, ayúdenme a entender si esta prueba de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ es correcto.

Prueba :

Una condición necesaria para formar un triplete pitagórico es que, en su forma más simple , uno (y sólo uno) de los dos enteros menores del triplete debe ser divisible por $4$ . (Espero que esto sea obvio, pero puedo proporcionar una aclaración para esto si es necesario - edición: esta condición parece estar generando confusión, por lo que he añadido un ejemplo fácil de visualizar a continuación).

Suponiendo que $\sqrt{2}$ es racional viola esta condición de la siguiente manera:

Si $\sqrt 2= a/b$ con $a,b\in \mathbb Z$ , entonces $2b^2=a^2$ .

Esto da lugar a $b^2+b^2=a^2$ un triplete pitagórico en $(b,b,a), b<a$ .

Esto indica que, o bien ambos los números menores del triplete son divisibles por $4$ o que ni es. Cualquiera de estos resultados viola la condición para formar un triplete pitagórico, invalidando la suposición de que $\sqrt{2}$ es racional.

Edición: Ejemplo de la condición pitagórica a continuación. Esta no es una prueba rigurosa/formal, sólo una intuitiva. Las cuentas del cuadrado azul deben "rodear" al cuadrado rojo, que es la única forma en que el conjunto de los dos puede formar el cuadrado mayor. Como el cuadrado rojo tiene cuatro lados, el cuadrado azul debe contener necesariamente un número de cuentas que sea divisible por $4$ .

Answer 1

Esa es una prueba correcta, asumiendo que has probado tu "condición necesaria". Sin embargo, la prueba de esa condición necesaria puede ser tan compleja como las pruebas más tradicionales que $\sqrt{2}$ es irracional.

La parte de "sólo uno" es fácil, ya que si ambos números pequeños son divisibles por 4, entonces el número grande también lo es, y no está "en la forma más simple". La parte de "uno" es menos obvia (al menos para mí, en este momento, antes de haber tomado la primera dosis de cafeína).

Answer 2

Esta es una adición a la respuesta de John Hughes que demuestra la condición necesaria. Dado que $a^2 + b^2 = c^2$ , si $c$ es impar tenemos que al menos uno de $a, b$ debe ser par, y por lo tanto al menos uno de $a^2$ , $b^2$ divisible por 4. Esa parte es fácil.

Por otro lado, si $c^2$ es incluso ambos $a$ y $b$ puede ser impar, y sin descartar esta posibilidad para un primitivo $(a, b, c)$ la prueba no está completa. Debería ser obvio que si $a$ , $b$ son ambos incluso el triplete no era primitivo.

Hay una manera de completar su prueba. Considera la ecuación $\bmod 4$ con $a, b$ ambos impar:

$$a^2 + b^2 \equiv c^2 \mod 4$$

Independientemente de si $a \equiv 1$ o $a\equiv 3 \mod 4$ ya que $3^2 \equiv 1 \mod 4$ que tenemos:

$$1 + 1 \equiv c^2 \mod 4$$

Pero $c$ es par, por lo tanto

$$2 \equiv 0 \mod 4$$

lo que demuestra que no hay soluciones, por lo tanto $a, b$ no pueden ser ambos impar con incluso $c$ .