Demostrar que si quince obispos fueron colocados en un tablero de ajedrez, entonces al menos dos de ellos atacan unos a otros.

Question

Probar que si quince obispos fueron colocados en un tablero de ajedrez, luego de al menos dos de ellos se atacan unas a otras.

Me preguntaba si el siguiente método es el correcto? (Yo también siento como que me engañó un poco, como si me pidieron el mínimo obispos necesario en lugar de decir 15, lo que hubiera sido más difícil. Me tomó 15, se resta 1, y sabía que tenía que ocupar de los 14 puntos de alguna manera.)

Creo que la manera en que lo hice es un poco torpe, y no es obvio en demostrar que es el "peor" de los casos. Yo lo que hice fue colocar 7 obispos en la fila superior, a excepción de la esquina superior derecha y, a continuación, 7 obispos en la fila inferior, excepto la parte inferior derecha de la esquina. Así que ahora un 15 obispo debe ser colocado en cualquiera de los atacantes del alcance de los otros obispos (por el Principio del Palomar).

Un montón de tiempo, me siento como que estoy usando la intuición, en lugar de ser capaz de seleccionar la correcta palomas y casilleros.

Answer 1

No, esto no es una prueba, ya que como dices no hay ninguna razón para poner la primera $14$ obispos en esas posiciones es la mejor manera de empezar.

La manera de hacer este tipo de problema suele dividir el tablero en secciones de tal manera que las dos piezas en la misma sección están atacando, mientras que asegurarse también de que hay más piezas de las secciones, así que encasillar asegura que hay dos en la misma sección. (Un ejemplo más sencillo de lo mismo: si $9$ torres en un tablero de ajedrez, algunos de los dos debe estar atacando, porque sólo hay $8$ filas por caja tiene dos en la misma fila.)

Así que aquí, usted debe estar tratando de cubrir el tablero con $14$ diagonales (sugerencia: trate de cubrir los cuadrados blancos con $7$ de las diagonales).

Answer 2

La forma más sencilla veo para demostrar esto a través de la caja es:

Si vuelve a alinear la junta como un diamante puede tratar los cuadrados blancos como un diamante en forma de cuadrícula que 8x7 en la que los obispos se mueven como los grajos.

Dado que sólo hay 7 columnas, no puede haber una solución más allá de los 7, en el que dos obispos no están en la misma columna (y atacar el uno al otro). Esto también es cierto para los cuadrados de color negro, que sólo con una rotación de 90 grados de los cuadrados blancos. Por lo tanto, el uso de ambos colores, hay sólo 14 de los casilleros.

Answer 3

Contamos con la "caída" diagonal a8-h1 y trece "levantamiento" diagonales a7-b8, c8 a6, a5-d8,..., g1-h2, que juntos cubren la totalidad de la Junta. Como cada uno de estos catorce diagonales puede contener a más de un obispo en una configuración de no atacar, allí ser más de 14 obispos.

Answer 4

supongamos que tenemos un tablero de ajedrez:

$$(1,1) , (1,2) ,..., (1,8) \\ (2,1) , (2,2) ,..., (2,8) \\ ... \\ (8,1) , (8,2),..., (8,8) $$

permite definir la diagonal $d_1 = ${$ (8,1) $} , $d_2 = ${$ (7,1),(8,2) $} ,..., $d_8 = ${$ (1,1) , (2,2) ,...,(8,8) $} , ... , $d_{15} = ${$ (1,8) $}.

entonces :

caso 1 - cada obispo está en la otra diagonal, a continuación, hay obispos en (8,1) y (1,8) y se atacan unos a otros

caso 2 - una de las diagonales $d_1 \ or \ d_{15}$ está vacía, a continuación, por pigeon hole (diagonales = agujeros , los obispos = palomas), existen al menos dos obispos en la misma diagonal --> atacan unos a otros.

Answer 5

Puesto que sólo hay 15 líneas diagonales en dirección a1-h8 o a8-h1 (incluyendo los cuadrados de la esquina), cada obispo debe colocarse sobre una diagonal diferentes con el fin de evitar ataques mutuos. Esto significa que, sin embargo organizar las piezas, dos diagonalmente enfrente de las esquinas deben ser ocupado. Lo único que puede evitarlo es colocar algunas otras dos piezas en la otra diagonal.