Sustituciones, al menos en el contexto de la integración, no tienen que ser de bijective ni continua. Considere el siguiente teorema, y la nota de la hipótesis.
Teorema: Vamos a $I$ ser conectado a un subconjunto de a $\mathbb{R}$ $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ una función derivable con una Riemann integrable derivados. Deje $f:I \to \mathbb{R}$ ser continua. Entonces
$$\int_a^b (f \circ g)g' = \int_{g(a)}^{g(b)} f \ \ \ \ \ (1)$$
Prueba: Supongamos $F$ cualquier antiderivada de $f$. Nota: $(f \circ g)(x) \cdot g(x)$ es integrable. Por otra parte, es el derivado de la $F \circ g$. Desde el teorema fundamental del cálculo, es fácil ver que ambos lados son iguales a $F(g(b)) - F(g(a))$. Tenga en cuenta que la FTC se supone simplemente la integrabilidad de Riemann de $f$; ver Spivak ($2008$) para una prueba de ello.
Ejemplo 1:
$$\int_{-2}^{1} 2x\exp x^2 \ dx$$
Deje $g(x) = x^2$. De $(1)$, esta integral es igual a $\int_4^1 \exp t \ dt =e - \exp 4$. Nota la sustitución de $u = x^2$ no es bijective en $[-2, 1]$.
Ejemplo 2
Para este ejemplo, vamos a $g(x) = x^2 \sin \frac 1x$ $g(0) = 0$ y la nota $g'(x) = 2x \sin x^{-1} - \cos x^{-1}$ con $g'(0) = 0$. $g'$ es Riemann integrable, ya que es limitado y sólo discontinua en un punto único. Queremos evaluar
$$\int_{-1}^1 g'(x) \exp g(x) \ dx$$
De $(1)$, es fácil ver que esta integral es igual a $\exp \sin 1 - \exp \sin (-1)$. Esto muestra que la $(1)$ puede ser utilizado incluso cuando la sustitución no es $C^1$.
Ejemplo 3
Considere la posibilidad de $$\int_{-1}^{1} \exp x \ dx \ \ \ \ \ (2)$$
En esta situación, vamos a elegir la $g$. Aquí, la inyectividad de $g$ se convierte en relevante, debido a que cada ocurrencia de $x$ en nuestros integral, tenemos que escribir en términos de $g$.
Vamos $g(x) = x^2$, $\frac{dg}{dx} = 2x$. Queremos que nuestros integral que ser de la forma
$$\int_{-1}^{1} \frac{dg}{dx} f(g(x)) \ \ dx$$
Sin embargo, esto sólo es posible si $g$ es invertible, esto es porque se necesita una inversa de a $x^2$. Cómo puede ser resuelto? Dividir la integral original en componentes donde $g$ es bijective. Así, en su lugar, evaluar
$$\int_{-1}^0 \exp x \ dx + \int_0^1 \exp x \ dx$$
con la sustitución de $g = x^2$. Por ejemplo,
$$\int_0^1 \exp x \ dx = \int_0^1 \exp \sqrt{x^2} \ dx = \int_0^1 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2}}\exp \sqrt{x^2} \ dx = \int_0^1 \frac{\exp{\sqrt g}}{2 \sqrt g} \ dg$$
Tenga en cuenta que el $\sqrt{x^2}$ habría sido problemático si no hubiéramos dividir la integral.
Por supuesto, en este caso sólo hemos hecho nuestra parte integral más complicada, pero normalmente esto hace que la integral más fáciles de resolver.
En resumen: la sustitución no tiene por qué ser $C^1$; un integrable derivada es suficiente. Si el original integrando ya es de la forma $g' \cdot f(g(x))$, el bijectivity de $g$ es irrelevante. Si te dan una integral y desea evaluar con un arbitrario de sustitución, que es cuando la bijectivity de $g$ es relevante, y la división de la integral generalmente se soluciona el problema.
