Demostrar que no existen enteros positivos $a,b$ tal que $p \mid a+b+1,a^2+b^2+1,a^3+b^3+1$ $p > 3$ Dónde está un primer

Question

Demostrar que si $p > 3$ es un primer entonces no existen números enteros positivos $a,b$ tal que\begin{align*}a+b+1 &\equiv 0 \pmod{p}\\a^2+b^2+1 &\equiv 0 \pmod{p}\\a^3+b^3+1 &\equiv 0 \pmod{p}.\end{align*}

Tenemos $a+b \equiv a^2+b^2 \equiv a^3+b^3 \pmod{p}$. Así $a(a-1)+b(b-1) \equiv 0 \pmod{p}$ y $a^2(a-1)+b^2(b-1) \equiv 0 \pmod{p}$. Entonces %#% $ de #% ¿cómo podemos seguir desde aquí mostrar que la ecuación no tiene soluciones en los enteros positivos?

Answer 1

Que $p\gt 3$ ser una privilegiada. En el campo $\mathbb F_p$ tenemos $$\begin{align*}a+b=-1\\a^2+b^2=-1\\a^3+b^3=-1\end{align*}$$ It follows from the first equation $$a^2+b^2+2ab=1 \Rightarrow ab=1$ $ $$a^3+b^3+3ab(a+b)=-1 \Rightarrow 3ab(a+b)=0 \Rightarrow ab=0$$ Thus $% $ $ 0=-1\text{ contradiction}.$