Deje $\Omega = \{ x \in \mathbb{R}^n: 0<|x|<1 \}$ y considerar el problema de Dirichlet \begin{align} \Delta u &= 0 \\ u(0) &= 1 \\ u &= 0 ~~~\text{if} ~~|x|=1 \end{align} Considerando el esférico promedio $$M_u(0, r) =\frac{1}{n w_n} \int_{|\xi|=1} u(r \xi) \, dS_\xi$$ mostrar que el problema no tiene solución.
Mi intento:
Tenemos $$\lim_{r \to 1} M_u(0,r)=0$$ since $u=0$ on the boundary $|x|=1$ and $u$ must be continuous on $\Omega$. However, $u(0)=1$ para el de Gauss Valor medio Teorema no se cumple, y u no es armónica en el origen.
Me siento incómodo con este argumento. El origen no es ni siquiera en el dominio $\Omega$, así que ¿por qué debería el valor medio teorema de mantener al $x=0$? ¿Por qué deberíamos esperar $u$ a ser armónico en $x=0$?
Yo no puedo pensar en ninguna otra prueba para este problema, especialmente teniendo en cuenta que nos dice que debemos usar el promedio a través de una esfera...
