Producto directo de finito muchos anillos no unital de noetheriano es noetheriano

Question

Que $A_1, A_2,...,A_n$ sea noetheriano anillos (no necesariamente unital). ¿Es el producto directo $A:=A_1×A_2×⋯×A_n$ necesariamente un anillo noetheriano?

Si $A_1, A_2,...,A_n$ es unital, entonces uno puede probar que los ideales de $A$ el % de forma $I_1 \times I_2 \times \dotsc \times I_n$, donde $I_k$ es un ideal de $A_k$ y luego demostración que de hecho el $A$ es noetheriano. ¿Y la pregunta general?

Answer 1

Creo que algunas pruebas para unital anillos de llevar a cabo sin cambiar, pero tal vez estoy siendo estúpido? Por ejemplo:

Como Martin señaló en los comentarios, podemos suponer $n=2$, por lo que considerar un ascendente de la cadena de $$I_1\leq I_2\leq \dots$$ los ideales de la $A\times B$ donde $A$ $B$ son Noetherian. Voy a identificar a $A$ con el ideal de $A\times\{0\}$$A\times B$, y deje $\pi:A\times B\to B$ ser el mapa de proyección.

Entonces $$I_1\cap A\leq I_2\cap A\leq\dots$$ es un ascendente de la cadena de ideales de a $A$, y $$\pi(I_1)\leq\pi(I_2)\leq\dots$$ es un ascendente de la cadena de ideales de a $B$.

Desde $A$ $B$ son Noetherian, hay algunos $t$ tal que $I_i\cap A=I_t\cap A$ $\pi(I_i)=\pi(I_t)$ todos los $i\geq t$.

Pero si $(a,b)\in I_i$$i\geq t$,$b\in\pi(I_i)=\pi(I_t)$, por lo que $(a',b)\in I_t$ para algunos $a'\in A$. Así $$(a-a',0)=(a,b)-(a',b)\in I_i\cap A=I_t\cap A,$$ y así $$(a,b)=(a-a',0)+(a',b)\in I_t.$$ Por lo $I_i=I_t$.