Una expresión combinatoria es igual a un coeficiente binomial al cuadrado

Question

Problema : Demostrar para todos los números naturales la siguiente identidad:

$$\sum_{r=0}^{n}\frac{(2n)!}{(r!)^2((n-r)!)^2}=\dbinom{2n}{n}^2$$

Acabo de conseguir interpretar el LHS de lo anterior como la suma de los coeficientes de esos términos en la expansión de $(a+b+c+d)^{2n}$ que son de $(ab)^r(cd)^{n-r}$ forma.

También intenté escribir el LHS en términos de coeficientes binomiales de la siguiente manera

$$\sum_{r=0}^{n} \dbinom{2n}{r}\dbinom{2n-r}{r}\dbinom{2n-2r}{n-r}$$

Pero como $r+r+n-r$ no es una constante, por lo que la suma anterior no puede interpretarse como el coeficiente de $x^{t}$ en alguna expresión donde t es alguna constante.

Así que, por favor, ayúdenme con este problema. Incluso los consejos serían apreciados.

Además, no he encontrado ninguna interpretación combinatoria para este problema, aunque estoy acostumbrado a utilizar la doble contabilidad en las indentidades combinatorias.

Answer 1

Reescritura $\frac{(2n)!}{(r!)^2((n-r)!)^2} = \binom{2n}{n}\binom{n}{r}\binom{n}{n-r}$ . $$\therefore \sum_{r=0}^{n}\frac{(2n)!}{(r!)^2((n-r)!)^2}= \sum_{r=0}^{n}\binom{2n}{n}\binom{n}{r}\binom{n}{n-r} = \binom{2n}{n}\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}\binom{n}{n-r}$$ Ahora, $\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}\binom{n}{n-r}$ es sólo elegir $n$ objetos del total $2n$ objetos. Así, $\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}\binom{n}{n-r} = \binom{2n}{n}$ $$\therefore \frac{(2n)!}{(r!)^2((n-r)!)^2} = \binom{2n}{n}\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}\binom{n}{n-r} = \binom{2n}{n}^2$$