¿Nadie entiende cómo se aplica la regla de la cadena aquí?

Question

A partir de la parte superior con cómo aplica la regla de la cadena.

Lo que he probado:

1. Google (función multivariable de la regla de la cadena del googlear no ayuda. Claramente $\frac{df}{dt}=\sum \frac{\partial x_i}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial x_i} $ pero cómo llegaron a su conclusión está más allá de mí.)

Answer 1

No sé si esto ayuda. Observar\begin{align} f(x_1, \ldots, x_n) \end {Alinee el} y \begin{align} x_i = p_i+t(x_i-p_i) \end {alinee el} entonces por regla de la cadena, tenemos\begin{align} &\frac{d}{dt}f(p_1+t(x_1-p_1), p_2+t(x_2-p_2), \ldots, p_n+t(x_n-p_n)) \\ =& \frac{\partial f}{\partial x_1} \frac{d x_1}{d t}+ \frac{\partial f}{\partial x_2} \frac{dx_2}{dt}+\ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\frac{dx_n}{dt}\\ =&\ \frac{\partial f}{\partial x_1} (x_1-p_1) + \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_2-p_2) + \ldots +\frac{\partial f}{\partial x_n}(x_n-p_n)\\ =&\ \nabla f(p+t(x-p)) \cdot (x-p). \end {Alinee el}

Answer 2

En primer lugar, no diferencian $f$, está diferenciando la función $g(t)=f(p+t(x-p))$. La función $g$ es la composición de la función $f$ con la función $h(t)=p+t(x-p)$ (esta es una función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$). Así que por la regla de la cadena, $$\frac{dg}{dt}(t)=\sum \frac{dh^i}{dt}(t)\frac{\partial f}{\partial x_i}(h(t)),$$ where $h ^ $ is the $i $th component of $h $. Since $h ^ i (t) = p ^ t + (x ^ i-p ^ me) $, $\frac {dh ^ i} {dt} $ is just $x ^ i-p ^ $, así que esto da la fórmula que se muestra.