Grande-$O$ $\frac{1}{1-x}$

Question

Me gustaría mostrar como $x\rightarrow 0$

$$\frac{1}{1-x}= 1+x^2+x^3+\dots+x^n +O(x^{n+1})$$

Mi inclinacion es multiplicar por $1-x$ para obtener:

$1=(1-x)(1+x^2+\dots+x^n) +(1-x)O(x^{n+1})$

y entonces, para alguna constante $C$:

$1=x^{n+1}-1 +(1-x)C|x^n|$

Pero estoy atrapado aquí. Soy una uno mismo-estudiosa de la, pero he intentado etiquetar esto como "tarea" como es ese tipo de problema. Gracias.

Answer 1

Tienes

$$1+x+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^{n+1}}{1-x}$$

Ahora, $|x|<\frac12$,

$$\left|\frac{x^{n+1}}{1-x}\right|<2|x|^{n+1}$$

Por lo tanto

$$\frac{1}{1-x}=1+x+\cdots+x^n+O(x^{n+1})$$

Se puede demostrar la misma en cualquier intervalo de $]-\varepsilon,\varepsilon[$ $0<\varepsilon<1$, sólo obtendrá un factor $\frac{1}{1-\varepsilon}$ $2$. No se puede escribir la misma desigualdad en $[-1,1]$ ya que la serie no es convergente en $x=1$ o $x=-1$.

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Sólo una nota al margen: desde $x^n=O(x^n)$, podía escribir así $1+x+\cdots+x^{n-1}+O(x^n)$ en tu pregunta.

Answer 2

Una forma de hacerlo es observar que la serie de Taylor para $\frac{1}{1-x}$ es:

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{i = 0}^\infty x^i $$

Que converge para $\left \lvert x \right \rvert < 1$. Así que para cualquier $n$ podemos escribir:

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \sum_{i = n + 1}^\infty x^i $$

Ahora basta probar que $\sum_{i = n + 1}^\infty x^i$ $O(x^n)$ $x \to 0$. Voy a mostrar una prueba de eso si le gustaría, pero ya que haces Self sería una buena idea hacerlo usted mismo si puede.