Supongamos $\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$$\lim f-g=0$?

Question

Me preguntaba si es posible que $\lim_\limits{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$, pero $\lim_\limits{x\rightarrow\infty} ({f(x)}-{g(x)})\neq 0$ o incluso inexistente. Parece intuitivo que el resultado siempre será cero y, de hecho, es fácil demostrar al tanto de los límites de $f$ $g$ existen, sin embargo, yo no puedo probarlo en el caso de que los límites no existen. Así que no estoy seguro de si es posible que el resultado no es cero, o que el límite no existe.

Gracias de antemano.

Answer 1

Considere la posibilidad de $f(x)=x+2$$g(x)=x$. O $f(x)=x+\sin x\cdot \ln x$ $g(x)=x$

Answer 2

En el cálculo, hay tres modos de enfoque (juego de palabras) a $\lim_\limits{x\rightarrow\infty}$ problema:

1. Si el grado del numerador > el grado del denominador, como en $\frac{x^3}{x^2}$, el límite siempre no existe (porque se acerca ya sea infinito positivo o negativo).

2. Si el grado del numerador < el grado del denominador, como en $\frac{x^2}{x^3}$, el límite es siempre 0.

3. Si el grado del numerador = el grado del denominador, como en $\frac{3x^2}{x^2}$, el límite siempre es el cociente de los coeficientes de los más altos grados en el numerador y el denominador. En el caso de $\frac{3x^2}{x^2}$, $\lim_\limits{x\rightarrow\infty}$ $\frac{3x^2}{x^2}$ = $\frac 31$ = 3.

Por lo tanto, una función racional puede obtener un límite de 1 cuando x tiende a infinito si se cumple la 3ª condición.

Ya que estamos buscando un valor distinto de cero responder a $\lim_\limits{x\rightarrow\infty} ({f(x)}-{g(x)})$ donde $\lim_\limits{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$, luego de una función racional con numerador $f(x)$ y el denominador $g(x)$ debe cumplir estas condiciones:

1. El cociente de los principales coeficientes del numerador y el denominador debe ser igual a 1.
2. ${f(x)}$ $\neq$ ${g(x)}$
   • Por qué? Si ${f(x)}$ eran igual a${g(x)}$,$\lim_\limits{x\rightarrow\infty} ({f(x)}-{g(x)}) = 0$.

A partir de aquí, se puede dar el nombre de una de las parejas de las funciones que iba a funcionar.

• G la respuesta: $f(x) = x + 2$, $g(x) = x$, donde $\lim_\limits{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$ $\lim_\limits{x\rightarrow\infty} ({f(x)}-{g(x)}) = 2$

• $f(x) = x^2$, $g(x) = x^2 - 9$, donde $\lim_\limits{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$ $\lim_\limits{x\rightarrow\infty} ({f(x)}-{g(x)}) = 9$

• $f(x) = 5x^4 + 25$, $g(x) = 5x^4 - 75$, donde $\lim_\limits{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$ $\lim_\limits{x\rightarrow\infty} ({f(x)}-{g(x)}) = 100$

En cada uno de ellos, nos damos cuenta de que es de las constantes que permiten a $\lim_\limits{x\rightarrow\infty} ({f(x)}-{g(x)})\neq 0$.

Feliz resolución de yema :)

Answer 3

Si $f(x)/g(x) = 1$ $f(x) = g(x)$ $f(x) - g(x) = 0$ y muchos de los estudiantes que tan desesperadamente quiere esta lógica de la inferencia sea válida en el límite de las operaciones también. Tal deseo se deriva de la resistencia a la zanja el enfoque algebraico de $+,-,\times,/,=$ cuando uno comienza a estudiar cálculo.

Cuando nos ocupamos de los límites es esencial entender que ellos no son un concepto algebraico basado en el orden de las relaciones de $<, >$ y uno debe esperar que se comporten de manera diferente. Así, uno no debe sorprenderse si $$\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$$ does not imply that $$\lim_{x \to \infty}\{f(x) - g(x)\} = 0$$ We can see that $$\lim_{x \to \infty}\{f(x) - g(x)\} = \lim_{x \to \infty}g(x)\left(\frac{f(x)}{g(x)} - 1\right) = \lim_{x \to \infty}g(x) h(x)$$ where $h(x) = f(x)/g(x) - 1$. Now the limit of $h(x)$ is $0$ but it does not necessarily mean that limit of $g(x)h(x)$ is also $0$. One can't make an inference like this without knowing further about $g(x)$.