Probando $dx.dy = r.drd\theta$ utilizando x e y

Question

Puedo demostrar que $dx dy = r.dr d\theta$ dibujando una circunferencia y calculando el área de un pequeño cuadrado en las coordenadas polares, pero cuando intento demostrarlo utilizando las ecuaciones de abajo, no lo consigo. ¿Cuál es mi error?

$x = r\cos(\theta) => dx = \cos(\theta).dr - \sin(\theta)r.d\theta$

$y = r\sin(\theta)=>dy=\sin(\theta).dr + \cos(\theta)r.d\theta$

$=> dxdy = r(\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))drd\theta=r\cos(2\theta).drd\theta$

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De hecho, vi una pregunta similar en este sitio: cómo conseguir $dx\; dy=r\;dr\;d\theta$ Mi problema era que no entendía por qué $drd\theta = -d\theta dr$

Answer 1

Si quieres hacer las cosas algebraicamente entonces tendrás que recurrir al producto exterior :

$$\Bbb d x \wedge \Bbb d y = (\cos \theta \ \Bbb d r - r \sin \theta \ \Bbb d \theta) \wedge (\sin \theta \ \Bbb d r + r \cos \theta \ \Bbb d \theta) = \\ \cos \theta \sin \theta \ \Bbb d r \wedge \Bbb d r + r \cos^2 \theta \ \Bbb d r \wedge \Bbb d \theta - r \sin^2 \theta \ \Bbb d \theta \wedge \Bbb d r - r^2 \sin \theta \cos \theta \ \Bbb d \theta \wedge \Bbb d \theta$$

y, como $\Bbb d r \wedge \Bbb d r = \Bbb d \theta \wedge \Bbb d \theta = 0$ y $\Bbb d r \wedge \Bbb d \theta = - \Bbb d \theta \wedge \Bbb d r$ porque el producto exterior es gradualmente conmutativo (en particular, anticomutativo para $1$ -), obtenemos

$$\Bbb d x \wedge \Bbb d y = r \ \Bbb d r \wedge \Bbb d \theta .$$

Answer 2

Puedes pensar en $dxdy$ como una pequeña porción de área que es el paralelogramo definido por los vectores $dx$ y $dy$ . La clave es que el área tiene un signo; así que si cambiamos el orden de $dx$ y $dy$ obtenemos $dydx = -dxdy$ . (Una forma de pensar en ello es que el operador de multiplicación entre $dx$ y $dy$ se comporta como un producto cruzado; es anticomutativo). Así, $drdr = -drdr$ así que $drdr = 0$ De la misma manera $d\theta d\theta = 0$ .

Así, $$dxdy = (\cos(\theta)dr-r\sin(\theta)d\theta)(\sin(\theta)dr+r\cos(\theta)d\theta)\\=\cos(\theta)\sin(\theta)drdr-r\sin^2(\theta)d\theta dr+r\cos^2(\theta)drd\theta -r^2\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta d\theta\\=0+r\sin^2(\theta)drd\theta +r\cos^2(\theta)drd\theta+0\\=rdrd\theta.$$ (La clave está en cambiar el $d\theta dr$ a $-drd\theta$ en la tercera línea).

Answer 3

Especializando la fórmula general para un cambio de coordenadas a este cambio de coordenadas se obtiene $$dx \,dy = \left\vert\det\pmatrix{\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}}\right\vert dr \,d\theta .$$ El cálculo del determinante da el resultado esperado.

Por otra parte, si sabe un poco de álgebra exterior, probablemente piense en $dx \,dy$ como $dx \wedge dy$ y así $$dx \wedge dy = d(r \cos \theta) \wedge d(r \sin \theta) = (\cos \theta \,dr - r \sin \theta\,d\theta) \wedge (\sin \theta \,dr + r \cos \theta \,d\theta).$$ En particular, la antisimetría de $\wedge$ da $d\theta \wedge dr = -dr \wedge d\theta$ .