Por qué compuesto transformaciones se multiplican en el lado derecho?

Question

He visto que muchos de los compuestos transformaciones tienen la transformación posterior multiplicada por el lado derecho de la matriz. Decir que tengo una matriz existente de la transformación de la matriz $\mathbf{M}$ y, a continuación, otras matrices de transformación $S$ para el escalado, $T$ para la traducción, $R$ para la rotación. Yo quiero hacer una rotación de primera, a continuación, la traducción a continuación, la escala, tengo que hacer esto: $\mathbf{M}(R)(T)(S)=\mathbf{M^'}$. Ahora el final de la matriz $\mathbf{M^'}$ ha compuesto transformaciones en la secuencia que yo podría utilizar para transformar los vectores con $\mathbf{M^'}\vec{x}=\vec{x^{'}}$.

Pero la pregunta es ¿por qué transformaciones multiplicada por el lado derecho de las matrices y cómo puedo probar que tiene que ser multiplicada por el lado derecho? Lo que el significado sería si yo había multiplicado a la izquierda, en cambio, como $(S)(T)(R)\mathbf{M}=\mathbf{M^'}$?

A veces, tengo esta tendencia a multiplicar a la izquierda porque en la fila de primaria de las operaciones, las matrices se multiplica a la izquierda.

Answer 1

En algún momento uno tiene a la izquierda-se multiplican, a veces uno tiene derecho de multiplicar. Esto realmente depende.

Requisitos previos:

Se realiza el escalado, rotación y traslación. Así que vamos a asumir que tenemos lineal del punto de transformación de la forma general:

$$\mathtt T = \left[ \begin{array}{cc} s\mathtt R & \mathbf t \\ \mathtt O& 1\end{array} \right]$$ cual es la primera gira de un punto por $\mathtt R$ , luego de las escalas por $s$ y, a continuación, añade la traducción de $\mathbf t$:

$$\mathtt T \cdot \left( \begin{array}{c} \mathbf x \\ 1\end{array} \right) = \left[ \begin{array}{c} s(\mathtt R\cdot \mathbf x) + \mathbf t \\ 1\end{array} \right]$$

(Tenga en cuenta que la rotación y la escala viajes: $s(\mathtt R\cdot \mathbf x)=\mathtt R(s\cdot \mathbf x)$)

A partir de ahora, vamos a suponer que todos los puntos de $\mathbf y$ son homogéneas puntos ($\mathbf y= (\mathbf x, 1)^\top $).

Cuenta los marcos de referencia: En el fin de dejar claro si se necesita una izquierda o a la derecha de la multiplicación, es importante destacar que el marco de referencia de sus puntos son!

Supongamos, tenemos puntos de $\mathbf y_a$ en el marco de referencia $a$, y desea transformar en el marco de referencia $b$, por lo que hacer

$$ \mathbf y_b = \mathtt T_{ba} \mathbf y_a$$ donde $\mathtt T_{ba}$ es una transformación a$b$$a$. Tenga en cuenta que los índices deben coincidir!

Ahora, veamos un ejemplo más complejo. Uno puede estar interesado en:

$$\mathbf y_a = \mathtt T_{ab}\mathtt T_{bc}\mathtt T_{cd}\mathbf y_d$$

Además, supongamos que recibimos la plantea en orden (Primero $\mathtt T_{ab}$,$\mathtt T_{bc}$...).

Podríamos calcular en un algoritmo:

$\mathtt T_{ai} := \mathtt T_{ab}$

(así, $i=b$)

$\mathtt T_{ai} := \mathtt T_{ai}\cdot \mathtt T_{bc}$

(ahora, $i=c$)

$\mathtt T_{ai} := \mathtt T_{ai}\cdot \mathtt T_{cd}$

($i=d$)

Por lo tanto, nos haga multiplicado y $\mathtt T_{ai}$ significa que ahora $\mathtt T_{ad}$, la transformación de$d$$a$. Finalmente, podemos transformar nuestros puntos:

$$\mathbf y_a := \mathtt T_{ad} \mathbf y_d $$

Sin embargo, si uno quiere realmente de izquierda multiplicar, esto es posible! Tenga en cuenta que $\mathtt T_{ia}=\mathtt T_{ai}^{-1}.$ por Lo tanto, podemos hacer:

$\mathtt T_{ia} := \mathtt T_{ab}^{-1}$

($i=b$)

$\mathtt T_{ia} := \mathtt T_{bc}^{-1} \mathtt T_{ia}$

($i=c$)

$\mathtt T_{ia} := \mathtt T_{cd}^{-1}\mathtt T_{ia}$

($i=d$)

Por lo tanto, tenemos $\mathtt T_{ia} = \mathtt T_{da}$, y por lo tanto, podemos transfrom el punto de $d$ $a$mediante el inverso:

$$\mathbf y_a := \mathtt T_{da}^{-1} \mathbf y_d $$

Answer 2

Como Yoda dice, "no Hay por qué." No hay ninguna rima o razón para ello. La matemática es atada con una mezcolanza de acumulación de incongruencias en los convenios que a menudo hacen que el aprendizaje y hacer más matemáticas como engorroso como el aprendizaje y haciendo arithmentic con números Romanos!

En algún lugar a lo largo de la línea, alguien definió la multiplicación de la matriz como, $C(i,j)=\sum_{k}A(i,k)B(k,j)$, cuando podría haber sido definido como

$C(i,j)=\sum_{k}A(i,k)B(j,k)$,

$C(i,j)=\sum_{k}A(k,i)B(k,j)$,

$C(i,j)=\sum_{k}A(k,i)B(j,k)$,

$C(i,j)=\sum_{k}A(j,k)B(k,i)$,

$C(i,j)=\sum_{k}A(j,k)B(i,k)$,

$C(i,j)=\sum_{k}A(k,j)B(k,i)$, o

$C(i,j)=\sum_{k}A(k,j)B(i,k)$.

Alguien decidió que la composición de $a$ $b$ debe ser escrito como $a*b$. Alguien decidió que era inconsistente y escribió la composición de $a$$b$$b*a$, cuando él podría haber redefinido la multiplicación de la matriz!

Los convenios no están escritas en piedra. Si no te gustan, hacer su propio. Eso es lo que yo hago. Para la composición de dos permutaciones $a$$b$, expresado como vectores fila en la APL (UN Lenguaje de Programación), escribo $c\leftarrow a$[$b$] y APL asigna el resultado de la composición de la variable $c$. Acabo de usar la misma notación, en sustitución de la $\leftarrow$ con un =. Resulta que la realidad es redundante, por lo que $a$[$b$ es sólo una reescritura de $a$*$b$.

Si $A$, $B$, y $C$ son las correspondientes matrices que representan estas permutaciones, escribo $C$=$AB$, donde $AB$ es sólo el estándar de la multiplicación de $A$$B$. Problema resuelto.

¿Un ejemplo? Considere dos permutaciones en $S_4$, 2431 y 3214:

2431[3214]=3421

3214[2431]=2413

Vamos a ver lo que sucede cuando multiplicamos las correspondientes matrices de la representación irreducible de $S_4$. Estas matrices de permutar los vértices de un tetraedro en el $(x,y,z)$ coordenadas $(6,4,3)$, $(-6,4,3)$, $(0,-8,3)$, y $(0,0,-9)$ entre sí. Hacer una matriz con las coordenadas de las columnas, obtenemos:

$ \begin{array}{rrrr} 6 & -6 & 0 & 0\\ 4 & 4 & -8 & 0\\ 3 & 3 & 3 & -9 & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $

Multiplicar esta matriz de la izquierda, por la representación de la matriz para 2431, obtenemos:

$ \begin{array}{rrrlrrrrlrrrr} -1/2 & -1/4 & -2/3 & & 6 & -6 & 0 & 0 & & -6 & 0 & 0 & 6\\ 1/3 & 5/6 & -4/9 & \times & 4 & 4 & -8 & 0 & = & 4 &0 & 4 & -8\\ 1 & -1/2 & -1/3 & & 3 & 3 & 3 & -9 & & 3 & -9 & 3 & 3\\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $

La multiplicación de la misma matriz de la izquierda, por la representación de la matriz para 3214, obtenemos:

$ \begin{array}{rrrlrrrrlrrrr} 1/2 & -3/4 & 0 & & 6 & -6 & 0 & 0 & & 0 & -6 & 6 & 0\\ -1 & -1/2 & 0 & \times & 4 & 4 & -8 & 0 & = & -8 & 4 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 1 & & 3 & 3 & 3 & -9 & & 3 & 3 & 3 & -9\\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $

Multipying la representación de las matrices en el orden 2431 $\times $ 3214, obtenemos:

$ \begin{array}{rrrlrrrlrrr} -1/2 & -1/4 & -2/3 & & 1/2 & -3/4 & 0 & & 0 & 1/2 & -2/3 \\ 1/3 & 5/6 & -4/9 & \times & -1 & -1/2 & 0 & & = -2/3 & -2/3 & -4/9 \\ 1 & -1/2 & -1/3 & & 0 & 0 & 0 & & 1 & -1/2 & -1/3 \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $

...que es el represntation matriz para la permutación 3421:

$ \begin{array}{rrrlrrrrlrrrr} 0 & -1/2 & -2/3 & & 6 & -6 & 0 & 0 & & 0 & 0 & -6 & 6\\ -2/3 & -2/3 & -4/9 & \times & 4 & 4 & -8 & 0 & = & -8 & 0 & 4 & 4\\ 1 & -1/2 & -1/3 & & 3 & 3 & 3 & -9 & & 3 & -9 & 3 & 3\\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $

...justo como queríamos. Usted puede comprobar por sí mismo que la multiplicación de las matrices en el orden contrario le da una matriz para la representación de la permutación 2413, como se ha dado al principio de este ejemplo - a menos que yo haya hecho algún error de escritura; es MUY tedioso!