¿Cómo se debe interpretar un intervalo como $[2,1]$?

Question

Normalmente, cuando estamos tratando con intervalos de $[a,b]$, es al menos implícita de que $a\leq b$. En este caso, hay varias formas equivalentes para definir lo que el intervalo es:

1. $[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\colon a\leq x\leq b\}$
2. $[a,b]:=\operatorname{conv}(\{a,b\})$.

Mientras que la primera definición es la que se suele enseñar, el último parece más elegante para mí, aunque el convex-hull operador está definido a sí misma por más de un complicado conjunto de generador de notación. Como ambos son equivalentes, la distinción es innecesaria.

Se pone interesante cuando tenemos $[a,b]$$a>b$. Por lo general, yo consideraría que esta simplemente mal, pero a veces tienen un intervalo de $[a,b]$ y, a continuación, que puede ser tedioso y contraproductive siempre tiene que requieren $b\geq a$. Lo dicho intervalo se trata de manera diferente de ambas definiciones:

1. Siempre el conjunto vacío. Esta es la interpretación usual de acuerdo a Wikipedia, pero no necesariamente muy útil.
2. El set con "correctamente-ordenó la frontera"$[b,a]$.

El último resultado parece más útil para mí, por ejemplo, siempre hemos $$\mu([a,b]) = \mu([b,a])$$ $$ \int\limits_a^b\mathrm{d}x\ f(x) = \int_{[a,b]}\!\!\!\mathrm{d}x\ f(x)\cdot\operatorname{sgn}(b-a) $$ y así sucesivamente.

¿Qué razones hay para que no se acaba de definir siempre los intervalos de esta manera?

Answer 1

Puedo pensar en dos interpretaciones razonables. Si usted piensa de $[a, b]$ como define el conjunto $\{ x : a \le x \le b \}$ entonces es claro que este es vacío si $a > b$. Éste sería un convenio en el contexto general del posets, donde las sumas de todos los intervalos en un poset debe ser interpretado como este.

La segunda es la relación de $[a, b]$ como el negativo de $[b, a]$. Es decir, identificar a $[b, a]$ con su función de indicador: a continuación, $[a, b]$ debe ser el negativo de la función de indicador. Éste sería un convenio para definir firmado integrales sobre intervalos, que es realmente un caso especial de una integral de contorno.

Answer 2

Debido a la habitual, de izquierda a derecha, el orden de lectura en los idiomas Europeos, $[a,b]$ tiene un connotación de orden. Sin embargo, su propuesta, sin duda tiene mérito. Si se tratara de la actual convención, no habría argumentos para el cambio.

Sin embargo, no es el actual convenio. En matemáticas elementales, el cambio de la convención al instante, la mayoría de los libros muy poco obsoleto. Que podría hacer que la idea sea atractivo para los editores, pero seguramente no para nadie más.

La historia nos ha dejado con un buen número de desafortunados comentarios. Si uno introduce una nueva notación, o una nueva interpretación de la notación, normalmente uno de los siguientes casos: (i) La nueva notación no es ampliamente adoptado, y rápidamente se muere o (ii) La nueva notación o interpretación es atractivo para muchos, y es adoptado por muchos. En el caso (ii), nos encontramos con dos anotaciones o interpretaciones.