la pregunta básica acerca de los ángulos de las líneas de

Question

Demostrar que la recta tangente líneas regular de la parametrización de la curva $$ \alpha \left( t \right) = \left( {3t,3t^2 ,2t^3 } \right) $$ hacer un ángulo constante con la línea de $y=0$ , $z=x$

Primero de todo, la derivada de la curva es de $$ \left( {3,6 t,6t^2 } \right) $$ Así, en un punto arbitrario de la curva de a $ t=$$ \varphi $$ _0 $ la recta tangente es $$ \eqalign{ & \left( {3\varphi _0 ,3\varphi _0 ^2 ,2\varphi _0 ^3 } \right) + t\left( {3,6\varphi _0 ,6\varphi _0 ^2 } \right) \cr & = \left( {3\varphi _0 + 3\,t\,\,,\,\,\,3\varphi _0 ^2 + 6\,t\,\varphi _0 ,\,\,\,2\varphi _0 ^3 + 2\,t\,\varphi _0 ^2 } \right) \cr} $$ La otra línea es$ (u,0,u) $, pero el producto escalar betweem estas dos líneas no es constante, lo que es malo?

Answer 1

Los vectores que quiere tomar el producto escalar de son $$\mathbf{a}=(u,0,u),$$ $$\mathbf{b}=(3,6t,6t^2).$$ (Como Jim señala a continuación, queremos tomar el producto escalar de los vectores de dirección de las líneas; lo que escribí antes era el producto escalar de a $(u,0,u)$ y el vector de posición de un punto sobre la recta tangente). Recordemos que $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=||\mathbf{a}||\,\,||\mathbf{b}||\cos(\theta).$$ El hecho de que el producto escalar de que estás recibiendo no es constante es debido al factor de $||\mathbf{a}||\,\,||\mathbf{b}||$ que están olvidando a compensar (o al menos, supongo que este es el problema que se produzca). Una vez que dividir tu respuesta $||(u,0,u)||=u\sqrt{2}$$\left|\left|\left( {3\,\,,\,6\,t\,,6\,t ^2 } \right)\right|\right|=\sqrt{9+36t^2+36t^4}$, se debe ser constante, es decir, no tiene ninguna $t$'s o $u$'s.