El comportamiento del espectro de un operador compacto w.r.t. las perturbaciones.

Question

Supongamos $A$ $B$ son lineales compactos operadores en un espacio de Hilbert con $\sigma(A)$ $\sigma(B)$ de su espectro.

Es posible obtener cierta continuidad en el resultado de $\sigma(A+\epsilon B)$ $\epsilon\downarrow 0$ hacia $\sigma(A)$? Es el comportamiento limitante de la forma "$\sigma(A)+\epsilon \sigma(B)$"?

Gracias de antemano!

Answer 1

Una respuesta parcial. Creo que es cierto si $\sigma(A)=\{0\}$. Para $\lambda\neq 0$, $A-\lambda I$ es invertible. Sin embargo, el conjunto de isomorphisms está abierto en $\mathcal{B}(H)$, por lo que no existe $\varepsilon>0$ tal que $A-\lambda I+\varepsilon B$ también es invertible. Esto significa que $\lambda\notin\sigma(A+\varepsilon B)$ $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño. Esto debería implicar que $\sigma(A+\varepsilon B)\to 0$.

Answer 2

La primera pregunta tiene una respuesta y es "sí", ver Dunford-Schwartz, Lineal operadores, parte II, XI-9, Lema 5; se lee:

"Vamos a $A_n, A$ ser compacto operadores y $A_n\rightarrow A$ en el uniforme del operador de la topología. Deje $\lambda_m(A)$ ser una enumeración de los no-cero autovalores de a $A$, cada uno repite de acuerdo a su multiplicidad. Entonces, existen enumeraciones $\lambda_m(A_n)$ de los no-cero autovalores de a $A_n$, con repeticiones de acuerdo a la multiplicidad, de tal manera que $$\lim_{n\rightarrow\infty} \lambda_m(A_n)=\lambda_m(A), \quad m\geq 1,$$ the limit being uniform in $m$."

Así, bajo compacto perturbaciones $\epsilon B$ de un operador compacto $A$, el perturbado espectro se mueve continuamente. Yo no sé acerca de la segunda pregunta, el orden de convergencia puede ser un poco difícil de obtener, algunos Rellich resultado podría ser útil. Considere la posibilidad de la comprobación de Kato del libro "Teoría de la Perturbación Lineal para los Operadores".