Tienes razón en ambas cuentas.
1. Primer aviso de que si $p(x)$ cero, con coeficientes constantes, decir $p(x)=x^mq(x)$, $p(x)$ es un divisor de cero si y sólo si $q(x)$ es.
Así que supongamos $p(x) = \sum_0^n a_ix^i \in \mathbb{Z}_4[x]$ tiene una extraña coeficiente y un valor distinto de cero coeficiente constante, y deje $k \le n$ menos que $a_k$ es impar. A continuación, todos los $a_j$ $j < k$ son incluso. Si $k=0$, claramente $p$ no es un divisor de cero (¿por qué?) así que debemos tener $a_0=2$.
Si $q(x) = \sum_0^m b_ix^i \in \mathbb{Z}_4[x]$ es otro polinomio (con un valor distinto de cero coeficiente constante, por la misma razón que el anterior), entonces el coeficiente de $x^k$ $p(x)q(x)$ es
$$\sum_{i+j=k} a_ib_j$$
Si $p(x)q(x)=0$, entonces debemos tener $b_0=2$. Pero, a continuación,
$$\sum_{i+j=k} a_ib_j = 2a_k + \cdots \equiv 2 + \cdots \pmod 4$$
y por lo $b_{\ell}$ es extraño que algunos $\ell<k$; de lo contrario los otros términos desaparecen y nos gustaría quedar con $2$.
Pero $q$ es un divisor de cero con un valor distinto de cero coeficiente constante, y así intercambiar los roles de $p$ $q$ en el de arriba, podemos ver que $a_i$ es extraño que algunos $i<\ell<k$, contradiciendo minimality de $k$.
2. Ciertamente, si $p(x)q(x)=1$ luego de sus constantes los coeficientes son dos $1$ o ambos $3$. Por lo $p(x)=1+g(x)$ $q(x)=1+h(x)$ algunos $g,h$ con igual incluso coeficientes constantes; y, a continuación,$g(x)+h(x)+g(x)h(x)=0$.
Deje $g(x)=\sum_0^n c_ix^i$$h(x)=\sum_0^m d_ix^i$, y deje $k$ menos que al menos uno de $c_k$ o $d_k$ es impar. [Debemos tener $k \ge 1$.] Entonces
$$c_k + d_k + \sum_{i+j=k} c_id_j = 0$$
Por lo tanto, debemos tener $c_k$ $d_k$ tanto extraño. Pero $c_0=d_0$ es aún, y así
$$c_k + d_k + \sum_{i+j=k} c_id_j = c_k+d_k+c_0d_k+c_kd_0 = (1+c_0)(c_k+d_k) \equiv 2 \pmod 4$$
ya que el resto de los términos de la suma son cero.
Esto es una contradicción, por lo $g$ $h$ debe ser divisible por $2$, y de hecho $p(x)=1+g(x)$ donde $g$ es un divisor de cero.
