Laplaciano de una función suave $f(\vec x) = 1/\|\vec x \|$ para $\| \vec x \| \geq 1$

Question

Este es un problema de cálculo multivariable de un examen preliminar pasado. Tengo una respuesta para esto escrito (publicado abajo), pero parecía bastante tiempo. Si hay una forma más fácil de abordar este problema, me gustaría verla. Gracias.

Recordemos que para una función suave $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ el laplaciano de $f$ se define por $$ \Delta f = \nabla \cdot ( \nabla f). $$

Supongamos que $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ es una función suave que satisface $f(\vec{x}) = 1/\|\vec{x}\|$ para $\|\vec{x}\| \geq 1$ .

1. Verifique que $\Delta f(\vec{x}) = 0$ para $\|\vec{x}\| \geq 1$ .

2. Computar $\int_{\mathbb{R}^3} \Delta f \, dV$ .

Answer 1

Para la primera parte:

$f(\vec{x})=1/r$ con $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ (fíjate que aquí no estoy usando coordenadas polares). Ahora,

$$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$$

Así que

$$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x}{r^3}$$

y

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = - \frac{r^2 - 3 x^2}{r^5}$$

Pero $$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = -\frac{1}{r^5} \left[3 r^2 - 3 (x^2+y^2+z^2)\right] = 0$$

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Para la segunda parte:

Como el laplaciano es cero fuera de la esfera unitaria, la integral puede restringirse a la esfera; y, el laplaciano es la divergencia del gradiente, y como la función es suave, podemos aplicar el teorema de la divergencia; por tanto, la integral debe ser igual al flujo del gradiente sobre la superficie.

Pero el gradiente viene dado por

$$\nabla f = ( - \frac{x}{r^3}, - \frac{y}{r^3},- \frac{z}{r^3}) = - \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|^3}$$

Entonces, es un vector colineal con $\vec{x}$ , apuntando hacia el origen. Y sobre la superficie, su longitud es 1, y es normal a la superficie. Por lo tanto, el flujo por elemento de la superficie es sólo (menos) el área del elemento; y la integral total de la superficie es sólo el área de la superficie de la esfera, con signo negativo: $- 4 \pi$

Answer 2

1. En coordenadas rectangulares, para $\|\vec{x}\| \geq 1$ , $ \begin{align*} f(\vec{x}) &= \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \nabla f &= \left\langle \frac{-x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{-y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{-z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \right\rangle \\ &= \frac{-1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \left\langle x,y,z \right\rangle \\ \nabla \cdot \nabla f &= \frac{ (-1) (x^2+y^2+z^2)^{3/2} - (-x)\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)^{1/2}(2x) }{(x^2+y^2+z^2)^3} \\ &+ \frac{ (-1) (x^2+y^2+z^2)^{3/2} - (-y)\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)^{1/2}(2y) }{(x^2+y^2+z^2)^3} \\ &+ \frac{ (-1) (x^2+y^2+z^2)^{3/2} - (-z)\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)^{1/2}(2z) }{(x^2+y^2+z^2)^3} \\ &= \frac{-3(x^2+y^2+z^2) + 3x^2+3y^2+3z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \\ &= 0 \end{align*} $

2. Desde $\Delta f = 0$ para $\|\vec x\| \geq 1$ entonces $\int_{\mathbb{R}^3} \Delta f \, dV = \int_{\| \vec x \| \leq 1} \Delta f \, dV$ . Entonces, por el teorema de la divergencia,

$\begin{align*} \int_{\| \vec x \| \leq 1} \nabla \cdot ( \nabla f) dV &= \iint_{\|\vec{x}\|=1} (\nabla f) \cdot \vec n \, dS \\ &= \iint_{\|\vec{x}\|=1} \frac{-1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \left\langle x,y,z \right\rangle \cdot \frac{ \left\langle x,y,z \right\rangle }{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}}dS \\ &= \iint_{\|\vec{x}\|=1} \frac{-(x^2+y^2+z^2)}{(x^2+y^2+z^2)^2} dS \\ &= \iint_{\|\vec{x}\|=1}-1 dS \\ &= -4 \pi \end{align*}$