Resolver el ODE $\frac{dx}{dt}=(x+t)t$

Question

Resolver la educación a distancia. Topicis de un verdadero curso de análisis, la existencia y unicidad de la educación a distancia

$$\frac{dx}{dt}=(x+t)t, \quad \forall t\in [0,1], \quad x(0)=0$$

Mi intento

$$\dot{x}=\frac{dx}{dt}=V(x(t),t)=(x+t)t$$

Así que...podemos usar $\phi v(x)$ tal forma que:

$$\phi_v^1(x,t)=x(0)+\int_{0}^{t}(x+t)t dt= (t^3/3)+(t^2x/2) \quad \text{s.t.} \quad x(0)=0$$

La aplicación de $\phi_V$ a %aproximado$\phi^n_V$:

$$ \phi_v^2(x,t)=+\int_{0}^{t} (t^3x/2)+(t^4/3)+t^2 dt= (t^4x/8 +t^5/15+t^3/3\\ \phi_v^3(x,t)=(t^5x/8)+(t^5/15)+t^4 dt= t^6x/48 +t^7/106+t^3/15+t^3/3 $$

Estoy en el camino correcto? ¿Cómo debo terminar esto?

Answer 1

SUGERENCIA

Sustituto $y(t) = x(t)+t$ $\dot{y} = \dot{x} +1$ y en la educación a distancia se convierte en el familiar lineal $$\frac{dy}{dt} = 1 + yt$$ with initial condition $y(0) = x(0)+0 = 0$.

Answer 2

Deje $u=x+t$ ,

A continuación, $x=u-t$

$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{du}{dt}-1$

$\therefore\dfrac{du}{dt}-1=tu$

$\dfrac{du}{dt}-tu=1$

I. F. $=e^{-\int t~dt}=e^{-\frac{t^2}{2}}$

$\therefore\dfrac{d\left(e^{-\frac{t^2}{2}}u\right)}{dt}=e^{-\frac{t^2}{2}}$

$e^{-\frac{t^2}{2}}u=\int_0^te^{-\frac{\tau^2}{2}}~d\tau$

$x+t=e^\frac{t^2}{2}\int_0^te^{-\frac{\tau^2}{2}}~d\tau$

$x=e^\frac{t^2}{2}\int_0^te^{-\frac{\tau^2}{2}}~d\tau-t$