¿Cómo puedo demostrar que $f(z) \equiv \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-n)^2}$ es una función de meromorphic?

Question

Vamos $$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(z-n)^2}.$$
Espectáculo $f$ es meromorphic en $\mathbb{C}$ con doble polos en cada número entero.

Yo creo que lo tengo para ser meromorphic. Me fijo un entero $m$ y se considera a la serie $$\sum_{n=m+1}^\infty \frac{1}{(z-n)^2}\qquad\text{and}\qquad\sum_{n=-\infty}^{-m+1} \frac{1}{(z-n)^2}.$$
Me mostró estos fueron analítica que implica toda la serie es meromorphic. ¿Cómo puedo mostrar $f$ tiene polos en cada entero?

Answer 1

Para mostrar su serie se define una función de meromorphic puede hacer lo siguiente:

• Demostrar que la serie converge uniformemente en cada subconjunto compacto de $\mathbb C\setminus\mathbb Z$. Esto implica que la serie se define en la que se establece un holomorphic función.

• Ahora vamos a demostrar que es meromorphic con los postes en los enteros. Para ello, es suficiente para demostrar que para cada una de las $n\in\mathbb Z$ podemos escribir $f(z)=g(z)+\frac{1}{(z-n)^2}$ $g(z)$ una función que es holomorphic en un barrio de $n$. Puede usted hacer esto?

Vamos a hacer el primero.

Deje $N\in\mathbb N$ y deje $\Omega_N=\{z\in\mathbb C\setminus\mathbb Z:|z|<N\}$. Si $z\in\Omega_N$ $n\in\mathbb Z$ tenemos $|z-n|\geq |n|-|z|\geq |n|-N$, por lo que la serie $\sum\limits_{\substack{n\in\mathbb Z\\|n|>N}}\frac{1}{(z-n)^2}$ es majorated, término por término, de la serie"$\sum\limits_{\substack{n\in\mathbb Z\\|n|>N}}\frac{1}{(n-N)^2}$, que converge. Weierstrass' criterio nos dice entonces que la serie $\sum\limits_{\substack{n\in\mathbb Z\\|n|>N}}\frac{1}{(z-n)^2}$, de hecho, converge absoluta y uniformemente en $\Omega_N$. De ello se desprende que el último de la serie que define a un holomorphic de la función en $\Omega_N$, y de ese modo, no $$\sum\limits_{\substack{n\in\mathbb Z\\|n|>N}}\frac{1}{(z-n)^2}+\sum\limits_{\substack{n\in\mathbb Z\\|n|\leq N}}\frac{1}{(z-n)^2}=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{(z-n)^2}.$$ Hacer esto para todos los $N\in\mathbb Z$ muestra que la serie, de hecho, se define una función que es holomorphic en $\mathbb C\setminus\mathbb Z$.

Answer 2

Una manera de mostrar esto es meromorphic es a través del teorema de Morera, que es como sigue.

Supongamos que para cada curva cerrada simple $\gamma$ en algunas de dominio, de tal manera que $\gamma$ no de viento de alrededor de cualquier punto en $\mathbb{C}$ que no está en el dominio, $\displaystyle\int_\gamma f(z) \, dz=0$. A continuación, $f$ es holomorphic en ese dominio.

Ahora mira en $$ \int_\gamma f(z)\,dz = \int_\gamma \sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{dz}{(z-n)^2}. $$

Ya sea del teorema de Fubini o Tonelli del teorema implica que la última expresión de arriba es igual a $$ \sum_{n\in\mathbb{Z}} \int_\gamma \frac{dz}{(z-n)^2}. $$ (Fubini del teorema implica el orden de integración puede ser revertida en las integrales iteradas en el que la integral del valor absoluto es finito. La suma es un ejemplo de una integral de Lebesgue con respecto a contar de la medida. Tonelli del teorema se obtiene la misma conclusión en el caso de que la función está integrada en todas partes es no negativo, independientemente de si su valor es finito o no). La última integral anterior es $0$ desde $\gamma$ no de viento de alrededor de $n$. De ahí la conclusión de la Morera del teorema sostiene.

Esto demuestra que $f$ es holomorphic en $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$, y por lo tanto meromorphic si tiene un polo en cada punto en $\mathbb{Z}$.

Para cualquier $n_0\in\mathbb{Z}$, tenemos $$ f(z) = \frac{1}{(z-n_0)^2} + \sum_{\begin{smallmatrix}n\in\mathbb{Z}\\ n\ne n_0\end{smallmatrix}} \frac{1}{(z-n)^2}. $$

El segundo término puede ser demostrado ser holomorphic en $\mathbb{Z}\setminus\{n_0\}$ por el método utilizado anteriormente. El primer término tiene un polo de orden $2$$n_0$.