Consideramos complejo de periodicidad de Bott $\pi_{i-1}(U) \simeq \pi_{i+1}(U)$. ¿Por qué podemos decir que el $K$-interpretación teórica de esta afirmación es $\tilde{K}(X) \cong \tilde{K}(\Sigma^2(X))$? Donde I denota con $\Sigma$ la reducción de la suspention y con $\tilde{K}(X)= \langle X, BU \times \mathbb{Z} \rangle$ el homotopical clases de preservar punto de base de los mapas. Estoy de acuerdo en que si decimos que $\tilde{K}(X) \cong \tilde{K}(\Sigma^2(X))$ de lo que se deduce que $\Omega(U) \cong BU \times \mathbb{Z}$... Gracias.
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FasterEd
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Primero de todos, usted puede encontrar todo lo que voy a escribir en un bonito y pequeño libro de Allen Hatcher en la K-teoría.
Usted puede describir todos los de rango-$k$ vector de paquetes (no sólo la estable) en la esfera de la $S^n$ con el llamado agarrando funciones (Hatcher, p. 22). En este enfoque, la vista de la esfera, ya que va a ser ensamblado a partir de dos copias de $D^n$ uirse en el 'ecuador' $S^{n-1}$. Desde $D^n$ es contráctiles, vector paquetes son triviales, de modo que el único que no trivial de información acerca de los paquetes en $S^n$ viene de la agarrando la función $S^{n-1} \to GL(k, \mathbb C) \cong U(k)$. Esto se describe cómo se relacionan los dos trivial haces dando a la transformación lineal en cada punto de la línea del ecuador. No es difícil mostrar que homotopy clases de estas funciones, a continuación, corresponden bijectively con clases de equivalencia de vectores paquetes.
Cuando se pasa a la estabilidad del vector de paquetes (es decir, K-teoría), puede permitir a $k$ en el anterior ir hasta el infinito -- este pierde una gran cantidad de información, pero hace que todo sea más sencillo y computable. Así que esta es una conexión directa entre las clases de K-teoría y homotopy grupos de $U$.
La periodicidad de Bott en la K-teoría, entonces, toma la forma siguiente: (Hatcher p. 41):
Hay un isomorfismo $$\mu : K(X) \otimes K(S^2) \to K(X \times S^2).$$
Demostrar este teorema es la parte más dura de la prueba de la periodicidad. Uno trabaja con la generalizada agarrando funciones en $X \times S^2$, muestra que es suficiente para trabajar con funciones lineales y después de eso es una simple cuestión de comprobar que la asignación es bijective. En cualquier caso, para la reducción de la teoría que uno obtiene (Hatcher, p. 54) $$ \widetilde K(X) \otimes \widetilde K(S^2) \to\widetilde K(X \wedge S^2) \cong \widetilde K(S^2 X) $$ y desde $\widetilde K(S^2)$ es sólo $\mathbb Z$, podemos obtener su reclamación (nota de que la reducción de frente sin diluir la suspensión no importa aquí).
