EDIT: actualizar, me encontré con que Euclides los axiomas no son considerados riguroso. David Hilbert hizo un completo axiomatization de la Geometría Euclidiana (1899 en su libro Grundlagen der Geometrie--tr. Los Fundamentos de la Geometría). Para ello, se requiere 6 primitivo términos que fueron indefinidos, incluidos los puntos, rectas y planos. Líneas y planos de ambos espacios. Por lo tanto, un verdadero axiomatization de la Geometría Euclidiana, de hecho, requieren espacio.
fuente: http://userpages.umbc.edu/~rcampbel/Math306/Axioms/Hilbert.html http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms#The_axioms
Dejé el resto del mensaje, ya que estaba por debajo, pero creo ^^esta es la respuesta. ...........
a un lado: Aquí la idea: la geometría Euclidiana se hace uso de los puntos y líneas (0 y 1 dimensiones de los espacios incrustados en 2 dimensiones en el espacio.) ¿Por qué detenerse allí? ¿Por qué no hacer geometría con el avión, línea, punto construcciones incrustado en 3 espacio? O 3-espacio construcciones en el 4-espacio? La intersección de dos líneas es un punto de la intersección de dos planos sería una línea, y la intersección de dos "no paralelas" 3-espacios serían un avión.
Aquí están los axiomas de la Geometría Euclidiana:
Un segmento de línea recta se pueden extraer de unirse a cualquiera de los dos puntos.
Cualquier segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en línea recta.
Dado cualquier segmento de línea recta, un círculo puede ser elaborado teniendo el segmento como la radio y un punto en el centro.
Todos los ángulos rectos son congruentes.
Sin incluso el postulado paralelo.
Aquí están los axiomas: http://mathworld.wolfram.com/EuclidsPostulates.html
EDIT: he aquí un posible primer postulado que se me ocurrió. Timax del postulado de la: No existe un 2-dimensional espacio que tiene la distancia-la preservación de los mapas. (tal vez algunos de álgebra lineal o la topología sería necesario definir completamente)
Pero, ¿cómo puede usted decir "puntos de existir" sin primero diciendo: "existe un espacio"? Si los puntos se definen como matemáticamente coordenadas, (por ejemplo, (23, 1, 9) es un punto en el 3-espacio), entonces parece que el primer axioma tendría que ser "un espacio de 3 dimensiones existe", y "números reales existen" en el fin de crear las coordenadas.
Parece bastante obvio que el espacio debe venir antes de los puntos.
Supongo que se podría decir que existe un punto, pero para ir más allá de cero dimensiones del espacio, y tener más de 1 punto, sería necesario establecer que el espacio existe. Usted no puede tener 2 puntos sin, al menos, 1 dimensión. Para obtener más de 1 línea, usted tiene que tener 2 dimensiones, para obtener más de 1 avión, tienes que tener 3 dimensiones.
Esta es probablemente la razón por la que el concepto de "espacio" siempre parece tan misterioso, DEBIDO a LA EXISTENCIA DE ESPACIO ES UN AXIOMA QUE NUNCA FUE DECLARADO!
He aquí otra idea: Hacer Euclides Elementos del estilo de las construcciones en 3 dimensiones del espacio, o incluso de N dimensiones del espacio, en lugar de sólo 2 dimensiones del espacio. Ha que ha hecho?
2015 M. Wanzek
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Por qué tendría que tiene que decir "el espacio existen" antes de que pueda decir "puntos de existir"? Con el fin de tener algo que contiene todos los puntos? Pero, a continuación, por el mismo razonamiento, no se puede decir "espacio de existir" sin primero postular la existencia de alguna entidad que puede contener espacios. Antes de que usted lo sepa, usted requiere de una regresión infinita de la existencia instrucciones.
En resumen, "los puntos de existir" es un excelente inicio. Era bueno en Euclid del tiempo, y es bueno ahora.
Un espacio es una colección de objetos que obedecen a ciertas propiedades. Es decir, un espacio es un conjunto con una estructura. En este sentido, de la geometría de Euclides no es necesario suponer la existencia de un espacio, porque él define el Espacio Euclidiano. Hay que considerar también que Peano no asume la existencia de números, ni Zermelo y Fraenkel asumir la existencia de conjuntos—debido a que los definen.
Por supuesto, Euclides hizo bien su trabajo antes de la base de la crisis de las matemáticas, por lo que algunos de su trabajo no era lo que podríamos considerar riguroso. Se define un punto simplemente como "el que no tiene parte" y una línea como "breadthless longitud". Si esto es lo que te está molestando, más rigurosas definiciones han sido ya dados.
Mediante la definición de los objetos, podemos mencionar (o al menos implica) lo que estamos trabajando con el conjunto de puntos, líneas, círculos, etc.. Ya que podemos considerar líneas, círculos, y otros objetos como conjuntos de puntos con ciertas propiedades, solo podemos decir que nuestro universo es el conjunto de puntos. También, podemos decir que no estamos trabajando en $0$ o $1$ dimensiones debido a que las definiciones y los axiomas se refieren a las intersecciones de las líneas, por lo que debemos estar trabajando en un juego en el que estas cosas son posibles. En términos modernos, el estándar de la semántica de la lógica de exigir que el dominio de discurso es no vacío.
La estructura del espacio es especificado por los Postulados de Euclides, es decir, los axiomas. Como usted sin duda sabe, existen otras geometrías que tienen diferentes axiomas, y por lo tanto diferentes estructuras.
En la geometría Euclidiana, usted puede referirse a puntos, líneas y círculos; implícitamente y conceptualmente, estos se encuentran todos dentro de algunos "espacio", pero de la geometría de Euclides no incluye el vocabulario para referirse a todo este espacio. Moderno axiomática de las matemáticas ciertamente tiene la capacidad de referirse a la totalidad de la entidad de espacio Euclidiano, ingenuamente, se representa como $\mathbb R^n$, es decir, las tuplas o vectores como $(23, 1, 9)$ que usted menciona, pero esto no es necesario para describir los objetos en el espacio Euclidiano, que es lo que Euclides hizo.
Otro punto que yo supongo es que vale la pena mencionar: en su propuesta de la "nueva idea" que se agrega al principio de la pregunta, usted dice que la intersección de dos líneas es un punto de la intersección de dos planos es una recta, la intersección de dos 3-espacios es un avión, etc. Es fácil caer en esta trampa extrapolar patrones como este, pero considerar dos líneas en el espacio 3-dimensional: la gran mayoría de los pares (es decir: aquellos en la "situación general") no se intersectan en todos; el comportamiento de la intersección de dos de estos espacios es dependiente en el espacio ambiente.
La regla general aquí está encapsulado en la Transversalidad de la teoría: cuando dos subespacios, en general, la posición se intersecan, sus codimensions, la dimensión del espacio ambiente menos la dimensión del subespacio, agrega. Así, por ejemplo, la intersección de dos 3-espacios, en general, la posición dentro de 4 dimensiones del espacio es $4-(4-3)-(4-3) = 2$-dimensional, y la intersección de dos 3-espacios, en general, la posición dentro de 5 dimensiones del espacio es $5-(5-3)-(5-3)=1$-dimensional. Dos planos, en general, la posición en $4$-dimensiones del espacio que se cortan en un punto.
Yo creo que va por el camino equivocado. El axioma de que está tratando de decir es que el espacio existe para contener algunos puntos. Sin embargo, por la mera existencia de los puntos, ya tenemos un espacio. El espacio es el conjunto de puntos y lo que los axiomas permiten. Nada más, nada menos. Si usted está de acuerdo de que hay un montón de puntos, a continuación, simplemente llame a la colección de puntos en el conjunto de $\mathbb P$. $\mathbb P$ es nuestro espacio, que generalmente es llamado el plano. Los axiomas para definir lo que puede hacer en ese espacio.
El espacio no se donde poner los puntos. El espacio es lo que se hace a partir de los puntos y el resto de los axiomas.
Estás en lo correcto al asumir que los axiomas que los mencionados deje un poco que desear. Euclides los axiomas no son exactamente claro qué ciertas cosas que decir. Una más forma utilizable de los axiomas de la neutralidad de la geometría se puede encontrar aquí: http://www.math.washington.edu/~lee/Cursos/444-5-2008/teoremas-plano-geom.pdf
La existencia y la regla de los Postulados puede ser lo que usted desea en un espacio.
El Postulado de la Existencia: La colección de todos los puntos forma un conjunto no vacío. Hay más de un punto en el que conjunto.
El Postulado de la Regla: Por cada par de puntos P y Q, existe un número real P Q, se llama la distancia desde P a Q. Para cada línea de $l$ hay una correspondencia uno a uno de $l$ $\mathbb R$tal que si P y Q son puntos en el la línea que corresponden a los números reales x y y, respectivamente, entonces PQ = |x − y|.
