Yo parametrizaría desde el principio, así en $C$ $-2\le z\le 2 $ y $x^2+y^2=4$ . Se trata de un cilindro de radio $2$ centrada en el origen con altura $4$ .
Así que $x=2\cos\phi,y=2\sin\phi $ donde $ 0\le\phi\le 2\pi $ ahora parametrizamos nuestra superficie $C$ como $\sigma (\phi,z)=(2\cos\phi,2\sin\phi,z)$ y ahora $F=(2z^2\sin\phi,0,0)$ .
Aquí dejamos que $ z$ aumentan de -2 a 2 por lo que con esta orientación, la normal $n=\sigma_\phi\times\sigma_z = \left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ -2\sin\phi & 2\cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right|=(2\cos\phi,2\sin\phi,0)$
Así que tenemos $\int\int_C(\nabla\times F)\cdot dS=\int_0^{2\pi}\int_{-2}^2(\nabla\times F)\cdot(2\cos\phi,2\sin\phi,0)dzd\phi$
Ahora $ \nabla\times F=\left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ yz^2 & 0 & 0 \end{array} \right|=(0,\frac{\partial}{\partial z}(yz^2),-z^2)=(0,2yz,-z^2)=(0,4z\sin\phi,-z^2)$
Así que $\iint_C(\nabla\times F) \cdot d\mathbf{S}=\int_0^{2\pi}\int_{-2}^2(0,4z\sin\phi,-z^2)\cdot(2\cos\phi,2\sin\phi,0)dz~d\phi \\ =\int_0^{2\pi}\int_{-2}^2 8z\sin^2 \phi \, dz \, d\phi =4 \int_0^{2\pi} (1-\cos2\phi) \, d\theta \; \int_{-2}^2 z \, dz =4 \color{#009900 }{[z^2]^2_{-2}} \; [\phi-\frac{1}{2}\sin 2\phi]^{2\pi}_0=\color{#009900 }{0}$
Tomé una ruta diferente porque el " $\frac{\partial z}{\partial y}\times\frac{\partial z}{\partial x}$ "no tiene sentido para mí. No son vectores.
Para hacer el $P$ integral también parametrizaría, pero esta vez estás integrando sobre un cono.
Parametrización $P$ aquí dejamos que $\sigma(\phi,z)=((4-z)\cos\phi,(4-z)\sin\phi,z)$ Aquí
$n=\sigma_\phi\times\sigma_z =\left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ (z-4)\sin\phi & (4-z)\cos\phi & 0 \\ -\cos\phi & -\sin\phi & 1 \end{array} \right|=((4-z)\cos\phi,(4-z)\sin\phi,4-z)$
así que $\int\int_P (\nabla\times F)\cdot dS=\int_0^{2\pi}\int_2^4(0,2z(4-z)\sin\phi,-z^2)\cdot((4-z)\cos\phi,(4-z)\sin\phi,4-z)dzd\phi$
$=\int_0^{2\pi}\int_2^42z(4-z)^2\sin^2\phi-z^2(4-z)dz d\phi$
$=\int_0^{2\pi}\int_2^4z(4-z)^2(1-\cos 2\phi)-(4z^2-z^3)dzd\phi$
$=\frac{20}{3}(\phi-\frac{1}{2}\cos 2\phi|_0^{2\pi})-2\pi(\frac{44}{3})$
$=2\pi(\frac{20}{3}-\frac{44}{3})=-2\pi(\frac{24}{3})=-8(2)\pi=-16\pi$
¡Aleluya! Para responder a sus nuevas preguntas:
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La producción cruzada de dos vectores produce un vector normal a ambos. Dado que $z$ se orienta positivamente, $\sigma_\phi\times\sigma_z$ produce la normalidad exterior que es lo que queremos, tomar el otro orden nos da una normalidad interior.
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En mi opinión has tenido suerte con tu cálculo, ya que la integral que has realizado era sobre la base del cono que en realidad no forma parte de la superficie.
Anexo
Creo que tu principal problema era el razonamiento para tomar lo normal como $\sigma_\phi\times\sigma_z$ en $\sigma_z\times\sigma_\phi$ . Esto puede parecer extraño Consulte aquí .
