Mostrando que la Asignación de Toro es topológico, colector de

Question

Deje $X$ ser conectado topológico $n$-colector, y $f:X\rightarrow X$ un homeomorphism, la Asignación de Torus $M_f$ se define como, $$M_f=X\times [0,1]/\sim$$ donde $(x,0)\sim (f(x),1)$.

Estoy tratando de demostrar que este es un colector. Aquí está mi planteamiento:

Esto es obvio para cada punto de $(x,a)$$a\neq 0,1$, por lo que vamos a llamar a $p\in M_f$ $p=\pi(x_0,0)=\pi(f(x_0),1)$donde $\pi$ es la proyección canónica. Deje $\{\varphi, U\}$ ser un gráfico de $X$$x_0$, y definir,

$$\begin{matrix} V_1&=&U\times [0,1/2)\\ V_2&=&U\times (1/2,1] \end{de la matriz}$$

tenemos que, si $V=V_1\cup V_2$, $\pi(V)$ es un conjunto abierto en $M_f$ y si definimos, $$\begin{matrix} \phi:&V&\longrightarrow &\mathbb{R}^n\times (-1/2,1/2)\\ &(x,a)&\longmapsto&\left\{ \begin{matrix}(\varphi(x),a)&\text{if}&(x,a)\in V_1\\((\varphi\circ f^{-1})(x),a-1)&\text{if}&(x,a)\in V_2\end{de la matriz}\right. \end{matriz}$$ a partir de aquí creo que debería ser suficiente para mostrar que el $\phi$ es un cociente de mapa, ya que los únicos puntos con la misma imagen son los relacionados por $\sim$.

Es este argumento válido?, y también es esta la forma correcta de resolver este problema o hay algo más elegante?

Answer 1

Usted tiene la idea correcta, y esto va a funcionar. No hay nada particularmente más elegante, sobre todo si (como yo) disfrutar de la elegancia de la topología cociente. Sin embargo, hay un par de errores.

La primera es un error tipográfico: las fórmulas para $V_1$ $V_2$ debe tener producto Cartesiano de los símbolos, no de los símbolos de la unión.

Segundo, la fórmula para $V_2$ es malo. Debe ser $$V_2 = f(U) \times (1/2,1] $$